l'autre un troisième groupe (C). Enfin, ayant en général obtenu les groupes (A), (B), (C), ... (K), le suivant (L) sera défini, comme réunissant les formes qui, sans appartenir aux groupes précédents, leurs sont contigues.

Cela posé, j'observe que si deux formes égales à F, se présentent à deux places différentes dans le tableau général, et qu'on les prenne l'une et l'autre pour points de départ d'une disposition par groupes, on arrivera identiquement aux mêmes résultats. On se rappelle en effet, que toute forme quadratique Þ, se déduit directement de sa correspondante F, dans l'ensemble (F), de sorte que deux transformées égales dans (F), ramênent des formes quadratiques, offrant les mêmes fonctions des arguments, et par suite les mêmes. opérations de réductions successives.

Cela étant, considérons le premier groupe dans lequel on retrouve la forme F, qui a été prise pour point de départ. Autant de fois cette forme. se trouvera-t-elle reproduite dans un groupe, autant aura-t-on de transformations en elle même. Nommons S, S', S", etc. ces substitutions. De ce que nous avons dit précédemment, résulte que ce sera toujours l'une de ces substitutions qu'il faudra employer pour passer de F, (quel que soit sa place dans le tableau), à la même forme placée dans le groupe le plus voisin. Donc de proche en proche, on voit que la substitution à faire pour passer généralement de F à la même forme, placée en tout autre point, résultera nécessairement de la combinaison successive des substitutions fondamentales S, S', S", etc.

IX.

Il est possible de réduire de moitié le nombre de ces substitutions fondamentales; car on démontre immédiatement comme conséquence de la manière dont elles on été obtenues, qu'on y trouve simultanément Set S-1, S'et S'1 etc. Mais c'est seulement pour les formes décomposables en facteurs linéaires que j'ai pu obtenir l'expression du nombre des substitutions fondamentales, entièrement indépendantes. Il est alors le même que celui des arguments essentiellement distincts dans la forme quadratique, c. à d., comme nous l'avons annoncé au commencement de ce mémoire, la somme du nombre des facteurs linéaires réels et du nombre des couples de facteurs imaginaires conjugués. La démonstration de ce théorème sera pour nous l'objet d'un mémoire particulier, dans lequel nous montrerons comment nos principes s'appliquent à l'étude des équations algébriques dont les coefficients sont des

nombres entiers. Nous terminerons en remarquant que la présence d'un nombre illimité d'entiers arbitraires dans les transformations semblables des formes ternaires, résulte des considérations précédentes. Car en supposant, pour fixer les idées, deux substitutions fondamentales S et S', l'expression générale des transformations semblables serait de la forme

S" S" S" S

m, n, p, q, étant des entiers positifs ou négatifs. Or aucune réduction ne saurait avoir lieu entre les nombres m, n, etc. à cause de l'impossibilité de permuter deux substitutions distinctes; comme nous l'avons démontrée (§. IX 1" partie).

Paris. Juin 1853.

20.

Sur la théorie des formes quadratiques.

(Par M. Hermite à Paris.)

Second mémoire.

On sait avec quelle facilité on a pu étendre aux nombres complexes de la forme a+b√-1, la plupart des notions arithmétiques fondamentales relatives aux nombres entiers réels. Ainsi des propositions élémentaires qui se rapportent à la divisibilité, on est parvenu rapidement jusqu'à ces propriétés plus profondes et plus cachées qui reposent sur la considération des formes quadratiques, sans rien changer d'essentiel. aux principes des méthodes propres aux nombres réels. Il est cependant certaines circonstances où cette extension parait exiger des principes nouveaux, et où l'on se trouve amené à suivre dans plusieurs directions différentes, l'analogie entre les deux ordres de considérations arithmétiques. Nous nous proposons d'en offrir ici un exemple, auquel nous avons été conduit en étudiant la représentation d'un nombre par une somme de quatre carrés. Voici d'abord la méthode nouvelle que nous avons suivie dans cette question.

I.

Désignons par A, un nombre entier impair ou impairement pair; nous commencerons pour établir la possibilité de la congruence

x2+y2+1=0 Mod. A.

=

À cet effet, soit d'abord A & Mod. 4, & représentant +1 ou -1. La progression arithmétique, ayant pour terme général

4Ax+2 ɛ A −1,

ne contiendra que des nombres 1 Mod. 4, puisque

2&4-12-11 Mod. 4.

J'observe ensuite que le premier terme, 2ɛ A −1, et la raison 4A, sont premiers entre eux, car on a identiquement:

Donc, d'après le théorème démontré par Mr. Dirichlet, cette progression contiendra une infinité de nombres premiers qui seront 1 Mod. 4, et par suite

décomposables en deux carrés. On pourra faire ainsi, pour une infinité de

Tout ce qui précède subsistera relativement à la nouvelle progression ayant pour terme général:

2 A≈ + A −1.

Ainsi la possibilité de la congruence

x2 + y2+1 = 0 Mod. A

se trouve établie, pour tout module impair ou double d'un nombre impair.

où les nombres entiers a et satisfont à la condition

a2+ẞ2+1 = 0 Mod. A.

L'invariant de cette forme, sera en valeur absolue A*; car il s'obtiendra en multipliant l'invariant de

X2 + Y2 + Z2 + U2,

qui est l'unité, par le carré du déterminant de la substitution linéaire

et on trouve bien facilement que ce déterminant est A2. Cela étant, cherchons pour des valeurs entières des indéterminées, le minimum de cette forme. D'après un théorème que j'ai donné en général (voyez oeuvres de Jacobi' 2o volume, page 223) il sera au dessous de la limité ()/4, et par suite, d'après la valeur de 4, moindre que 2.4. Mais il est aisé de reconnaitre que les nombres représentables par f, sont nécessairement 0 Mod. A; donc ce minimum ne peut qu'être A lui même, qui se trouvera ainsi décomposé en une somme de quatre carrés.

III.

On peut rapprocher la démonstration précédente des méthodes relatives à la représentation des nombres par les formes quadratiques binaires, en la présentant sous le point de vue suivant. La forme

— f = A(x2 + y2)+2α (xx+yu)+2ß(xu—zy) +

a2+ß2+1
A

(x2+u2)

a ses coefficients entiers, et pour invariant l'unité. Elle est donc équivalente à X2 + Y2 + Z2 + U2:

réduite unique qu'on obtient pour les formes quaternaires définies dont l'invariant est un. Soit donc

une transformation de l'une de ces formes dans l'autre: on trouvera, en comparant les coefficients de

2 et y2, les représentations suivantes du nombre A,

Pour décomposer en deux carrés, un nombre A, relativement auquel -1 est résidu quadratique, il faudrait de même considérer la forme

et la substitution qui la lie à sa réduite X2+ Y2. Mais les considérations suivantes rattacheront à un ordre d'idées plus générales, l'analyse que nous indiquons entre ces deux questions.

IV.

Représentons par vet w, les variables imaginaires x+y√−1,

≈ uv-1, et par vet w, leurs conjuguées x — — y√-1, ≈ — u√−1.

on pourra distinguer dans l'ensemble des substitutions réelles entre les deux

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 4.

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