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groupes de variables x, y, z, u, d'une part, X, Y, Z, U, de l'autre, celles qui sont exprimables ainsi :

v=aV+6W, w=cV +0 W,

0,= a,V+b,W,, w,=c,Vot d,W, où a, b, c, d, sont encore des quantités imaginaires quelconques, et av, bu, co, do, leurs conjuguées respectives. On obtient de la sorte une classe parfaitement définie de substitutions réelles, par rapport auxquelles on peut se poser les questions fondamentales de la comparaison des formes quaternaires : les deux problèmes de l'équivalence algébrique, de l'équivalence arithmétique, et de la représentation des nombres par ces formes. Pour l'objet que nous avons en vue en ce moment, nous nous bornerons aux formes quadratiques suivantes:

f = Avv, t Bvw+ B,wv, +Cwwo, dans lesquelles les coefficients extrêmes A et C sont supposés réels, tandis que les coefficients moyens, B, B,, sont des quantités imaginaires conjuguées. Considérées par rapport aux variables primitives, x, y, z, u: ces formes sont entièrement réelles, mais leur étude au point de vue des substitutions que nous avons précédemment définies, repose essentiellement sur l'emploi des nombres complexes. On est alors conduit, à leur attribuer un mode d'existence singulièrement analogue à celui des formes quadratiques binaires, bien qu'elles contiennent essentiellement quatre indéterminées.

Les considérations suivantes que nous présentons comme une première esquisse d'une théorie vaste et féconde, sur laquelle nous reviendrons à l'avenir, offreront plusieurs exemples de cette étroite analogie avec les formes binaires; mais on y verra en même temps le germe de notions arithmétiques toutes nouvelles, qui méritent peut-être de fixer un instant l'attention des géomètres.

V.
Le fait algébrique sur lequel repose en entier la théorie des formes

f = Avvo + Bvu, + B,uvo +Cuung consiste en ce que la substitution

fo=aV+bU, V = a,Vi+bU, (1.)

lu=cV+dU, W=c,V+d,U), conduit à une transformée semblable:

F = AVV,+BVU,+B, UV,+CUU,, dans laquelle les coefficients extrêmes A et C, sont réels comme A et C,

les coefficients moyens B et B, étant des quantités imaginaires conjuguées comme B et B,. On a en effet:

A= Aaat B a c+B,q,c + Ccco=f(a, c; Qo, cu),
B = A a bit B a dot Brand + Cc do=a od to
Bo= Aça,t + B,qand + B a do + Ccdra, on too

S = Abbot B b dot B,b,d + Cd do=f(b, d; bu, do), et ce que nous disons résulte immédiatement de ces formules. On en tire ensuite les conséquences suivantes :

On a le théorème

BB. – AC = (ad bc)(a, do buc.)(BB. AC). Ainsi l'expression BB, AC, jouera dans notre théorie le rôle d'invariant. Nous la désignerons par 4.

V,

2o. Nommant m et n, deux constantes imaginaires quelconques, m, et nu, leurs conjuguées, et posant

mentre interv, morate mai multe

no — mu =U, no V. — m, 4, = U., ce qui sera une substitution comprise dans la forme analytique générale des substitutions (1): je dis qu'on aura :

f(0, u; vu, uw).f(m, n; m., n.) = VV.- AUU.. Effectivement, cette relation n'est autre que celle du théorème précédent, dans laquelle on a mis v et u, au lieu de a et c; m et n, au lieu de b et d. Nous allons voir qu'elle donne tout ce qui concerne l'équivalence algébrique des formes f.

Supposons d'abord A positif, et mettons V/4, au lieu de V, il faudra au lieu de V, prendre V,74, et alors la forme f deviendra:

4(VV.JUU).

f(m,n; m,,,) Mais si 4 est négatif, en remplaçant V par V 74, il faudra mettre – V.14,

pour la quantité conjuguée, et alors f deviendra

4(V +UU,)

f(m,n; m,, "o) Enfin, par une nouvelle substitution qui consistera à multiplier V et U d'une part, V, et U, de l'autre, par un facteur et son conjugué, on obtiendra au lieu des deux formes précédentes, celles-ci:

+(VV,-UU.),

+(VV,+UU.). Nous en concluerons ce théorème:

Les formes f, peuvent toujours par les substitutions (1), être ramenées à l'un des trois types quadratiques quaternaires, d'indice zéro, d'indice deux, ou d'indice quatre.

VI.

Ce qui précède montre que les formes f, sont définies ou indéfinies, suivant que 1, est négatif ou positif. Nous pourrions aussi en conclure que relativement aux substitutions (1), elles ne sauraient avoir d'autre invariant que la fonction 4, ou ses puissances. Mais pour abréger, nous arrivons immédiatement aux principes relatifs à la représentation des nombres.

Rappelons d'abord qu'en désignant par an et n deux entiers complexes sans diviseurs communs, on peut toujours trouver deux autres nombres complexes u et v, tels qu'on ait:

my -- nu = 1. Car si l'on cherche par le procédé de Mr. Dirichlet, le plus grand commun diviseur entre m et n, il est aisé de voir qu'un reste de rang quelconque dans cette opération, s'exprime toujours par une somme de multiples complexes des nombres in et n. Le dernier de ces restes ayant dans le cas présent, l'unité pour norme, pourra donc s'obtenir sous la même forme; d'où se conclut de suite la possibilité de la relation proposée. Cela étant, nous aurons les théorèmes qui suivent.

1o. Si un nombre M, peut être représenté par la forme f, de manière que les valeurs complexes des indéterminées v et u, v, et u, soient premières entre elles, l'invariant 4, sera congru suivant le module M, à la somme de deux carrés.

Supposant en effet:

M = f(in, n; mo, nu), et déterminant u, et v, par la relation

INV nu = 1: l'équation déjà considerée,

(in, n; mo, no) f(u, v; Mo, Vo)

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donnera:

1 = (on money no ) Mod M. Or le second membre, étant la norme de l'expression in En, est une somme de deux carrés.

Nous voyons par là, qu'à toute représentation propre de M par la forme f, est attachée une solution de la congruence

x2 + y2 = 4 Mod M, en prenant

*+8/+1 = mene D'ailleurs, quels que soient u et v, dans la relation mv - nu= 4, les diverses valeurs qui en résulteront pour c et y, seront congrues suivant le module M.

Si le nombre M peut être représenté par f, en donnant aux indéterminées v et u, les valeurs premières entre elles in et n, et à leurs conjuguées les valeurs mo, no, et que le nombre complexe

x+y V-1 soit la valeur de l'expression

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où les entiers complexes, m, n; u, v, vérifieront la relation

my nu == 1.

3o. . On remarquera la complète identité des théorèmes qui précédent, avec ceux des paragraphes (154, 155, et 168) de l'ouvrage de M. Gauss. Il en resulte qu'il n'est aucune représentation propre de M, par la forme f, qui ne puisse s'obtenir en calculant toutes les expressions

F = MVV,+ (x+yv-1)VU.+(x -y7-1) V,U+ **** -UU., composées avec le nombre M, et les entiers complexes x+yv-1, solutions de la congruence

2? + y2 = A Mod M, et cherchant ensuite les transformations de f, en chacune de ces formes. Et toutes ces représentations seront distinctes, si les formules de transformation sont comme ci-dessus :

v=mV+uU, 0,=m,VtwUy,

u= nV+vU, U,= n,Votv.Uv; les entiers m, n, u, v, vérifiant toujours la condition

my nu = +1.

VII. Après avoir fondé sur des principes identiques à ceux de M. Gauss, pour les formes binaires, les éléments de notre théorie, nous pourrons cependant voir ce présenter déjà, deux notions arithmétiques nouvelles et qui lui sont entièrement propres. La première consiste dans les divers ordres d'équivalence, auxquelles conduisent les substitutions

v=mV+uU, v=m,Votu,U,

u=nV+vU, U= n,Vot vU, d'après les conditions

iny nu = +1, my nu =.-1, my nu = +1-1,

my - nu = -1-1. Nous réservons pour un autre mémoire, l'étude approfondie des trois ordres d’équivalence impropre. La seconde que nous voulons étudier dès à

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