Die genannten Endpuncle machen gerade die volle Zahl Schnittpuncte beider Curven aus. Findet sich insbesondere, dafs durch einen Pol P mehr als m (m—1) Sehnen S gehen, ja sobald nur eine Sehne mehr durchgeht, so gehen alsdann unendlich viele hindurch, so dafs die gegebene Curve C'm selbst den Punct P zum Mitelpunct hat.

Beachtet man von allen durch den Punct P gehenden Geraden nur diejenigen, T, bei welchen von den m Schnitten mit der Curve Cm ebenfalls zwei gleichweit von P abstehen, aber auf derselben Seite von P liegen sollen, also zu einem Berührungspunct der Geraden T vereinigt sind: so finden bekanntlich m(m-1) solche Tangenten T statt, deren m (m-1) Berührungspuncte in einer Curve 4m- liegen, welche die erste Polare des Pols P in Bezug auf die gegebene Curve Cm heifst (s. den voranstehenden Monatsbericht).

Wegen Übereinstimmung dieser letzten Bedingung mit der vorigen, soll fortan die obige Curve Jm-1 (wenn auch in anderer Hinsicht nicht ganz passend) die „innere Polare," hingegen die Curve Am- die „aussere" oder schlechthin nur die erste Polare des Pols P in Bezug auf die Basis Cm genannt werden. Beide Polaren sind also immer vom gleichen Grad. Aufserdem haben sie, unter andern, folgende wesentliche Beziehung zu einander.

II.,,Die beiden Polaren A"-1 und J-1 jedes Puncts P in Bezug auf dieselbe gegebene Curve Cm haben m-1 gegenseitige Schnittpuncte im Unendlichen, auf der Geraden G, daher müssen ihre Asymptoten paarweise parallel und die zu jedem Paar gehörigen müssen gleichzeitig reell oder imaginär sein; und daher müssen ferner die noch übrigen (m—1) (m −2) Schnitte beider Polaren in einer Curve vom (m-—2)ten Grad, C'm-2 liegen."

S. 14.

In Rücksicht der innern Polare sind zunächst verschiedene besondere Umstände zu erörtern, welche zum Theil zu interessanten Resultaten führen. Nämlich man kann fragen: welchen Einflufs es auf die Polare J-1 habe, oder wie sie sich gegen die Basis C verhalte, wenn der Pol P in der

ihren m2 gegenseitigen Schnittpuncten liegen somit m in der Geraden G, daher müssen die übrigen m (m-1) Schnitte in einer Curve (m-1)len Grads Jm- liegen, und zwar müssen sie paarweise Gegenpuncte in Bezug auf P sein (denn ist a ein Schnitt von Cm und Cm so mufs auch sein Gegenpunct a, in beiden Curven zugleich liegen), somit müssen diese Schnitte die Endpuncte von m (m-1) Sehnen aa, der Curve C (auch der C) sein, und folglich mufs die Curve Jm-1 den Pol P zum Mittelpunct haben.

2.

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 1.

5

letztern selbst liegt, oder insbesondere ein singulärer Punct derselben ist? oder ferner: welche Bewandtnifs es mit der Polare J-1 habe, wenn die Basis von specieller Form ist, etwa in Theile zerfällt? oder ferner: ob es in der Ebene der Basis solche besondere Pole gebe, für welche die innere Polare eine eigenthümliche Form erhält, in Theile zerfällt? u. s. w. Die wesentlichsten Fälle der Art sollen im Folgenden kurz angedeutet werden.

1. Verhalten der innern Polare, wenn der Pol P in der Basis Cm selbst liegt.

Hierbei sind wieder die beiden Zahlformen m= 2u und m=2v-1 zu unterscheiden, so dafs man es mit den zwei inneren Polaren Jμ- und J2v-2

*

zu thun hat, wovon die erstere immer durch ihren eigenen Mittelpunct oder Pol P geht und auch sonst noch sich verschieden von der andern verhält.

1. Wenn der Pol P ein beliebiger Punct der Basis Cm ist:

a) so hat J1 die Tangente von Cm im Puncte P zur Wendetangente, wt

(§. 9.).

B) so hat J-2 im Puncte P einen Doppelpunct, dp.

2. Wenn P insbesondere ein Wendepunct der Basis C" ist: a) so hat J2-1 die zugehörige Wendetangente mit der Basis gemein.

3. Wenn P insbesondere ein a) so hat J-1 in P einen dreifachen up, mit drei wt, von welchen sie fünfpunctig berührt wird (§. 1.).

4. Wenn P insbesondere ein a) so hat J2-1 in P einen dreifachen Wendepunct mit drei Wendetangenten, so dafs sie von jeder der letztern daselbst fünfpunctig berührt

wird, wie vorhin (3).

B) so hat J2-2 den P zum dp mit zwei wt, wovon die eine auf die wt der Basis fällt. Doppelpunct der Basis ist:

B) so hat J-2 den P wiederum zum dp mit zwei wt, welche auf die beiden Tangenten der Basis fallen. Rückkehrpunct der Basis ist:

B) so hat J-2 in P die rt der Basis zur doppelten rt und doppelten wt, nämlich sie berührt daselbst die rt der Basis doppelt, mit zwei Zweigen, und somit auch sich selbst.

Ist die gegebene Basis z. B. nur vom vierten Grad, C, so besteht die innere Polare J3 in den beiden Fällen (3. a) und (4. a) aus drei Geraden,

༡

3J', die durch P gehen, nämlich aus drei Doppelsehnen au, oder S2, bei denen das eine Paar Endpuncte, b und b1, in P vereinigt sind. Und dabei hat die äufsere Polare 43 mit der Basis beziehlich den Doppel- oder Rückkehrpunct nebst den zugehörigen Tangenten ( und S, bei 3., oder R bei 4.) gemein. Vermöge des obigen Satzes (§. 13. II.) folgt: „Dafs die drei Geraden, 3J', aus denen die innere Polare besteht, oder die durch P gehenden drei Doppelsehnen S aa1, beziehlich den drei Asymptoten, 3A, der äussern Polare A3 parallel sein müssen; und dafs umgekehrt, wenn man durch P mit einer Asymptote von A3 eine Gerade S parallel zieht, diese von der Basis C in zwei von P gleichweit abstehenden Puncten a und a, geschnitten wird."

=

5. Wenn endlich P insbesondere ein (m-1)facher Punct der Basis Cm ist:

,,so besteht sowohl die innere als äussere Polare, Jm-1 sowohl als Am-1, aus den m-1 Tangenten der Basis im Puncte P."

II. Verhalten der innern Polare, wenn die Basis aus Theilen besteht.

Die Basis C kann auf mannichfache Weise in Theile zerfallen, d. h. aus zwei oder mehren Curven niedrigerer Grade, oder selbst nur aus Geraden bestehen, wobei dann der obige Satz (§. 13.) immerhin bestehen bleibt; was unter andern zu folgenden speciellen Sätzen führt.

1. Wenn die Basis Cm aus m Geraden G besteht.

„Sind in einer Ebene beliebige m Gerade G gegeben und man zieht durch irgend einen Pol P zwischen je zwei Geraden diejenige Sehne S oder aa,, welche von P gehälftet wird, was im Ganzen 1⁄2 m(m −1) Sehnen au, giebt, so liegen ihre m(m-1) Endpuncte, a und a1, allemal in einer Curve (m-1)sten Grads, Jm-1, welche P zum Mittelpunct hat." 2. Wenn die Basis Cm aus zwei Curven C und C besteht, +B=m.

wo a +ß

,,Sind in einer Ebene irgend zwei Curven Ca und C gegeben und man zieht durch einen beliebigen Pol P die a (a-1) Sehnen aa, in der Curve Ca, so wie die B (B-1) Sehnen bb, in der Curve C, und ferner die a.ẞ Sehnen ab zwischen beiden Curven, (d. h. solche Gerade ab, die den einen Endpunct a in C, den andern b in C und ihre

Mitte in P haben), so liegen die Endpuncte aller dieser Sehnen, was zusammen a (a−1)+B(B−1)+2aßm (m-1) Endpuncte sind, allemal in einer Curve (a+B-1)sten oder (m-1)sten Grads, Jm-', welche den Pol P zum Mittelpunct hat."

Darin ist der besondere Satz enthalten:,,Dafs durch jeden Punct P in der Ebene zweier beliebigen Curven Ca und C3, im Allgemeinen, a.ß solche Sehnen ab möglich sind, welche den einen Endpunct in der einen, den andern in der andern Curve und ihre Mitte in jenem Puncte P haben.” Ferner ist daraus leicht der folgende Satz herzuleiten:

,,Sind in einer Ebene irgend zwei Curven Ca und CB gegeben, die einander in a.ß Puncten e schneiden, und zieht man durch einen beliebigen Pol P die a(a-1) Sehnen aa, in der Curve Ca, so wie die BB-1) Sehnen bb, in der Curve C3, so liegen die Endpuncte beider Systeme Sehnen mit jenen Schnittpuncten c, was zusammen a(a-1)+B(B-1)+aß = m(m-1)-aß Puncte ausmacht, allemal in einer Curve (a+ß−1)sten Grads, Jm-1, welche den Pol P zum Mittelpunct hat."

III.

Lage oder Ort des Pols P, wenn die innere Polare in Theile zerfallen soll. Dieser Fall führt schon auf complicirte Untersuchungen, wenn die gegebene Basis nur von niedrigem Grade, nur vom dritten oder vierten Grad ist, wie aus nachstehenden Betrachtungen erhellen wird.

S. 15.

I. Ist die gegebene Basis nur vom dritten Grad, C3, also die innere Polare jedes Pols P ein Kegelschnitt J, so kann dieser möglicherweise nur in zwei Gerade zerfallen, und es ist die Frage, ob dieses Zerfallen wirklich statt finden könne, und wo dabei der Pol P liegen müsse, oder welchen Ort er habe? In der That stellt sich heraus, dafs dieses Zerfallen auf zwei verschiedene Arten geschehen kann, und demgemäfs auch zwei verschiedene Örter vorhanden sind, und zwar wie folgt.

,,Der Ort des Pols, dessen innere Polare J in zwei Gerade zerfällt, besteht aus zwei getrennten Curven, nämlich:

A. aus der gegebenen Basis C3 selbst, und

B. aus einer bestimmten Curve zweiten Grads, E', welche die zweite Polare der Geraden G. in Bezug auf die Basis C3 ist (s. obig. Monats

bericht), oder welche die Enveloppe aller Durchmesser von C3 ist." Nämlich schneidet man die Curve C3 mit einer beliebigen Transversale und bestimmt zu den drei Schnitten den Schwerpunct d: so liegen alle Schwerpuncte d von je einem System paralleler Transversalen in einer Geraden D, welche Durchmesser der Curve C3 heifst, und wobei die Richtung der Transversalen, die,,conjugirte Richtung" des Durchmessers genannt werden soll. Alle Durchmesser D der Curve C3, wozu insbesondere auch ihre Asymptoten A, gehören, berühren nun den genannten Kegelschnitt E2. Sind die 34, alle reell, so ist E2 diejenige dem Asymptoten dreieck eingeschriebene Ellipse, welche dessen Seiten in ihren Mitten berührt; und schneiden sich insbesondere die 34, in einem Puncte, so reducirt sich E2 auf diesen Punct, so dafs alle Durchmesser durch denselben gehen. Ist dagegen nur eine A, reell, so ist E2, im Allgemeinen, eine Hyperbel, welche diese A, in einem leicht zu construirenden Puncte berührt.

Über die beiden Örter (A.) und (B.) sind die nähern Umstände folgende.

II. 1. Liegt der Pol P in der Basis C3 selbst (A.), so fällt von den ihm zugehörigen drei Sehnen S, oder aa1, bb1, cc, die eine, etwa cc1, auf die ihm zugehörige Tangente, wobei ihre Endpuncte c und c, sich mit P vereinigen, daher als in den beiden andern Sehnen liegend anzusehen sind, etwa c in aa, und c, in bb, so dafs also der Kegelschnitt J2 in die beiden Sehnen aca, und bc,b, übergeht, die wir zur Unterscheidung durch S, oder auch nach Umständen durch S und S, bezeichnen wollen. Demnach entsprechen jedem in der Basis liegenden Pol P nur zwei eigentliche Sehnen S,, die dritte fällt auf die Tangente, wird unendlich klein, reducirt sich auf ihren Berührungspunct P. Denkt man sich nun zu demselben Pol zugleich auch die äufsere Polare A', so folgt (§. 13. II.):

„Für jeden in der Basis C3 liegenden Pol sind die ihm entsprechenden zwei Sehnen S und S, den Asymptoten seiner äussern Polare A2 parallel.",,Daher sind beide Sehnen reell oder imaginär, je nachdem die Polare A2 Hyperbel oder Ellipse ist, und auch umgekehrt; und wenn insbesondere A2 Parabel ist, so fallen die Sehnen S und S aufeinander, und auch umgekehrt." Es giebt im Ganzen nur 6 solche besondere Pole P, die P, heifsen sollen, für welche die Sehnen S und S, in eine, ab oder S, zusammenfallen, und womit zugleich die Polare A2 Parabel wird, und zwar sind die 6 Pole P。 die gegenseitigen Schnitte