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d. b.: Die qute Polare der Curve D' in Bezug auf die Basis A" ist eine Curve Ei voin r(r+2x – 3)(n − x)ten Grad;" oder: Bewegt sich der Pol P in der Curve D', so ist seine xie Polar - Enveloppe E, eine Curve vom genannten Grade.

Für die erste und letzte Polare, also für x=1 und x=n-1 hat man insbesondere

(6.) (D”),: A" = E -1)(n-"); und

(7.) (D)n-1: A"=E%(r+2n–5); ist dagegen r=1, also die Directrix eine Gerade D', so hat man (5.):

(8.) (D'):A" = E?(x-1)(n-x), und für x=1 und x=n-1 kommt

(9.) (D'),: A" = E; und

(10.) (D')n-1: A"= -= = En-, d. h. Bewegt sich der Pol P auf einer Geraden D' (9.), so ist seine ersle Polar - Enveloppe rom Nulllen Grad, E', was anzeigt, dass die S(An-1) sich in (n-1)? Puncten a schneiden, auf welche sich die Enveloppe reducirt, oder dafs die Schaar Polaren An- in ein Büschel B(A-1) übergehen;" und (10.) „die (n-1)' Polare einer Geraden D' in Bezug auf die Basis A" ist eine Curve vom 2(n − 2)len Grad und von der (n − 1)len Classe En-1."

Für die Betrachtung der Polaren dient der folgende, allgemein bekannte, Satz als

1

Zweiter Fundamentalsatz: „Nimmt man, in Bezug auf dieselbe Basis A", von zwei beliebigen Puncten P und l die ersten Polaren, seien diese Pn- und On-, und nimmt sodann verwechselt die erste Polare von P in Bezug auf die Curve On-l und die erste Polare von l in Bezug auf Pn-, so sind diese beiden Polaren eine und dieselbe Curve Rn-?; oder in Zeichen:

(11.) (Q),:[(P),: A"]=(P),:[(0).: A"]=R-2."

Dieser Satz ist ebenso folgenreich, wie der obige. Durch wiederholte Anwendung desselben folgt zunächst, dass

(12.) (Q),:[(P)x : A")=(Px : [(Q),: A"]=R-x-y. Eine andere Folgerung ist:

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: Liegt der Punct Q in der uten Polare von P, also in P"-*, so

geht die (n x)e Polare con l, also Q', durch den Punct P.” Ebenso folgt daraus der schöne Reciprocitätssatz:

Hat die rote Polare eines Puncis P, also pr-x, einen Doppelpunct l, so hat auch umgekehrt die (n — 3 — 1)'e Polare des letztern, d. i. Qr+1, jenen Punct P zum Doppelpunct.

Die Doppelpuncte der Polaren spielen eine wesentliche Rolle, wie aus dem folgenden Beispiel zu ersehen ist.

Der Ort desjenigen Puncts P, dessen erste Polare, pr-t, einen Doppelpunct Q hat, ist eine Curve vom 3(1 - 2)(n-2)ten Grad

= P3(n=2). und der Ort des Doppelpuncts Q ist eine Curve vom 3(n − 2)ten Grad

= 03(n=2), ” diese letztere Curve 9, ist also zugleich auch der Ort desjenigen Puncts Q, dessen (n - 2)te Polare, l', einen Doppelpunct P hat, und jene erste Curve P, ist der Ort dieses Doppelpuncts. Die Polare (ist somit ein Kegelschnitt, der aus zwei Geraden besteht, die sich in P schneiden. Die Curven Po und l. werden, nebst anderp, conjugirte Kern-Curven der Basis A" genannt. Sie haben unter andern folgende Eigenschaften:

Die Curve lo geht durch die 3n(n − 2) Wendepuncte der Basis A", wogegen die Curve P, alle Wendetangenten derselben berührt.Die Curve P, ist von der 3(n--1)(n-2)ten Classe; und von gleicher Classe ist, iin Allgemeinen, diejenige Curve R), welche con der Geraden PQ umhüllt wird; diese Curve R, berührt ebenfalls die Wendetangenten der Basis A”;" etc. — Die (n-1) Polare von jeder beliebigen Curve D', d. i. D'('+2n5) (7.), berührt die Kerncurre P, in 3r(n-2) Puncten;" etc. — Die Kerncurve P, hat

3(n − 2)(4n — 9) Wendetangenten,

(n − 2)[(31? + 1)(n — 4)+28] Doppeltangenten, 12(n − 2)(n − 3) Rückkehrpuncte, und

}(n − 2)[3(n − 2) — 14(n − 2)+11] Doppelpuncte.

Sind P. und P, irgend zwei solche Puncte, deren erste Polaren P1-1 und P- einander in irgend einein Puncle X berühren sollen, so muss die Gerude P.P, allemal die Curve P, in irgend einem Puncle P berühren, und so ist der Punct X der zu P reciproke Pol Q und die Gerade PQ ist die gemeinsame Tangente jener Polaren im Puncte X=Q. Also können alle ersten Polaren P1-1, P;--, ... einander nur in solchen Puncten Q berühren, welche in der Kerncurve l, liegen, und somit zugleich Doppelpuncte von einzelnen derselben sind. Jeiler Tangente PP, der Curve P, entspricht ein Büschel erste Polaren (9.), B(P-1), die sich in einern und demselben Puncte l berühren, welcher der reciproke - Pol zum Berührungspunct P der Tangente ist. Ist PP, insbesondere eine Wendetangente der Kerncurre P., so osculiren sich ihre Polaren B(P-) in l; und ist PP, eine Doppeltangente von Po, so berühren sich die Polaren B(P1-1) in zwei verschiedenen Puncten Q. Ist ferner insbesondere P ein Doppelpunct der Curre Po, so hat seine erste Polare Pn-1 zwei Doppelpuncle l, und somit giebt es eben so viele erste Polaren, welche zwei Doppelpuncte haben, als die Kerncurve P. Doppelpuncte hal;” u. s. w.

Die gesammten ersten Polaren Pr-, P1-1, P-, ... bilden ein sogenanntes Netz, welches durch irgend drei derselben (die nicht zu einem Büschel gehören) bestimmt ist, und wodurch dann auch die Basis A" bestimmt wird. Haben die drei gegebenen Curven gemeinschaftliche Puncte (1, 2, 3, ... bis höchstens į (n-1)(n+ 2) — 2], so sind dieselben Doppelpuncte der Kerncurve lo. Daher ist z. B. der Ort der Doppelpuncte (oder der Berührungspuncte) aller Curven Pr, welche durch dieselben gegebenen 42(x+3) — 2 Puncle d gehen, eine Curve Q3(x-1), welche die Puncte d zu Doppelpuncten hat. Sollen die Curven pr durch 1 x (x+3)-1 Puncte d gehen, so bilden sie ein Büschel B(Pr) und dann haben sie zusainmen 3(x - 1)? Doppelpuncte.

Über die obigen Polaren (Polar-Enveloppen) wird bemerkt, dass wenn man eine derselben zur Directrix annimmt, ihr ebenfalls eine Reihe Polarcuryen entsprechen, von denen die eine vorzugsweise ihre reciproke Polare genannt wird. Nämlich wird von der æten Polare einer Curve D', also von (5.)

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die (n − x)te, d. i. die reciproke Polare genommen, so müsste diese die gegebene Curve D sein; nach der allgemeinen Formel (5.) ist sie aber, wenn r(r+2x-3)(n-x)=s gesetzt wird, eine Curve vom 8[s+2(1-3) — 3]ælen Grad. Hier ist also der scheinbare Widerspruch noch auffallender, als bei der gewöhnlichen Polarität, wo die Basis nur ein Kegelschnitt, und für welchen Fall er durch Poncelet aufgeklärt worden. Hier wird das Paradoxon wie folgt erklärt.

Die erste Polare von D", in Bezug auf die Basis A”, ist E -1)(n-1), und für die (n − 1)le Polare von dieser giebt die Formel (7.)

.

r-1)(n-1)[(r-1)(n-1)+2n–5]

En

statt dass sie, vermöge der Reciprocität, blofs die ursprüngliche Curve D' geben sollte. Dieses Wundersame klärt sich nun dadurch auf: dass die Curve En-1 1) aus (n-1)? Mal der Curve D' nebst deren 3r(r— 2) Wendetangenten

und įr(r—2)(r? -9) Doppeltangenten, wobei noch jede Wendetangente als eine 3fache und jede Doppeltangente als eine 2fache Gerade zu

zählen ist, also aus (n − 1)2X (D' +2+3w), und 2) aus den 3r(r– 1)(n-1)(n-2) gemeinschaftlichen Tangenten der Curve

· Dr und der Kerncurve P. besteht.

Eine ges

Eine gegebene Curve 09 kann von den Curven eines in derselben Ebene gegebenen Büschels B(PP) in 919+2p – 3) Puncten R berührt werden, welche allemal mit den 3(p --1)? Doppelpuncten des Büschels B(PP) zusammen in einer Curve R9+2p=3 liegen. – Sind in derselben Ebene irgend zwei Curvenbüschel B(PP) und B(Q9) gegeben, so ist der Ort des Puncts R, in welchem sich je zwei Curven beider Büschel berühren, eine Curve vom (2p + 29—3)ten Grad; und die Anzahl derjenigen Puncte R, in welchen sich zwei Curven Pr und Q9 beider Büschel osculiren, ist

= 3[(p+9) (p +9 - 6) + 2pq+5]. Sind in einer Ebene drei beliebige Curven-Büschel B (PP), B(Q9) und B (R") gegeben, so ist die Zahl derjenigen Puncte, in welchen je drei dieser Curven einander berühren, im Allgemeinen

= 4(pq+prtar) – 6(p+y+r-1). Für die Curven 3ten und 4ten Grads insbesondere ergeben sich aus der obigen allgemeinen Betrachtung viele, zum Theil ganz neue interessante Eigenschaften, wie leicht zu ermessen. Namentlich treten bier wiederum eigenthümliche Relationen der 28 Doppeltangenten der Curve 4'en Grads hérvor, ein Gegenstand, über welchen bisherige Bemühungen noch wenig ermittelt haben. Über die Curve zien Grads bieten sich noch mehr specielle Fälle dar; dabei wird nachgewiesen, dass das eigentliche Wesen vieler ibrer Eigenschaften vornehmlich auf der sogenannten Involution beruht.

. Durch verschiedene Correlationssysteme werden theils analoge Resultate, wie durch die Polarität, theils aber auch neue Sätze über Curven gewonnen.

Über solche algebraische Curven, welche einen Mit-. telpunct haben, und über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven, so wie über geradlinige

: Transversalen der letztern.

(Theils Auszug, theils Erweiterung eines am 26. Mai 1851 in der Akademie der Wissenschaften

gehaltenen Vortrags.)
(Vom Herrn Professor J. Steiner, zu Berlin.)

S. 1. Curven zweiten Grads haben schon an sich Mittelpuncte, es ist eine ihnen inwohnende Eigenschaft. Anders verhält es sich mit den Curven böberer Ordnung. Wohl besitzen noch die Curven dritten Grads die Eigenschaft, dass sie sich durch Projection in solche umwandeln lassen, welche Mittelpuncte haben; wogegen alle höheren Curven gewisse Beschränkungen zu erleiden baben, wenn ihnen die Eigenschaft eines Mittelpuncts zukommen soll.

Unter Mittelpuncteiner Curve m'en Grads, Cm, wird ein solcher in ihrer Ebene liegender Punct M verstanden, welcher die Eigenschaft hat, dass jede durch ihn gezogene unbegrenzte Gerade S, die Curve in solchen m Puncten schneidet, welche paarweise gleichweit von ihm abstehen, so dass also die Schnittpuncte auf beiden Seiten von jenem Puncte M gleich vertheilt sind, und jedem Punct p auf der einen Seite ein anderer P, auf der entgegengesetzten Seite, in gleichem Abstande von M, entsprechen muss und sein Gegenpunctgenannt wird. Hiernach möchte es scheinen, als könne eine Curve Cm nur dann einen Mittelpunct M haben, wenn ihr Gradexponent in eine gerade Zahl ist, etwa m=2u, weil nur dann in jeder Transversalen S zu beiden Seiten von M gleichviel Schnitte liegen können, was dagegen, wenn m ungerade, m=2v-1, nicht möglich ist. Indessen wird dieser scheinbare Einwand dadurch beseitigt, dass im letztern Falle ein einzelner Schnittpunct im Mittelpuncte M selbst liegt, somit ein Zweig der Curve C2v-1 durch ihren Mittelpunct selbst geht, wobei alsdann auf jeder Seite von diesem noch v-1 Schnitte liegen, die sich paarweise als Gegenpuncte entsprechen; jener besondere Punct aber muss nothwendig ein Wendepunct der Curve C2–4 sein.

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