der Curven C3 und E2.*) Jede der 6 Sehnen S, hat die Eigenschaft, dafs die in ihren Endpuncten a, b an die Basis C3 gelegten Tangenten A, B parallel sind. Liegt der Pol P insbesondere in einem Wendepunct wo der Basis, so fällt eine der beiden Sehnen S und S1, etwa S, auf die Wendetangente W, und alsdann besteht auch A aus zwei Geraden, nämlich aus W und der Harmonischen H von wo (§. 11.), und es ist S, #H, d. h., in diesem Falle besteht jede der beiden Polaren J2 und A2 aus zwei Geraden, wovon zwei auf W fallen und die beiden andern, S, und H, parallel sind.

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Die Sehnenpaare S und S, sind insgesammt dem folgenden Gesetz unterworfen.

,,Alle Sehnen S1, in welche die innere Polare J2 zerfällt, wenn der Pol P in der Basis C3 selbst liegt, oder was auf dasselbe hinauskommt, alle solche Sehnen aca, deren Mitten, c, in der Basis selbst liegen, berühren eine bestimmte Curve 6er Classe, Si, und 18ten Grads, G18"

Über das Verhalten dieser Curve gegen die Basis und über andere Eigenschaften derselben, mag hier noch Folgendes hinzugefügt werden.

2. Die Curve Si berührt die Basis C3 in ihren 9 Wendepuncten w, so wie in ihren 3 unendlich entfernten Puncten a, so dafs sie also die 3 Asymptoten A, mit ihr gemein hat; aber die S berührt jede dieser 3A, auch noch in einem bestimmten andern Puncte, so dafs sie dieselben zu Doppeltangenten hat. Da die Basis ebenfalls von der 6ten Classe ist, C3 K, so bestehen die 36 gemeinschaftlichen Tangenten beider Curven blos aus den 9 Wendetangenten W und den 3 Asymptoten der C3, indem jede dieser 12 Geraden für 3 gemeinschaftliche Tangenten zu zählen ist.

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3. Die Curve Si berührt die oben genannten 6 besondern Sehnen S in ihren Mitten P, und schneidet somit daselbst die Basis C3. Von den

*) In jener Abhandlung, welche der obige Monatsbericht bespricht, wird gezeigt: Dafs die Curve E' der Ort aller derjenigen Pole P ist, für welche die äufsere Polare A Parabel wird; und dafs überhaupt die Polare A Hyperbel, Ellipse oder Parabel ist, je nachdem der Pol P beziehlich aufserhalb, innerhalb oder in der Curve E liegt." Dasselbe gilt also auch für die innere Polare J', da sie stets mit A2 ähnlich und ähnlich liegend ist. Es giebt, im Allgemeinen, nur einen bestimmten Pol P, dessen Polaren A und J Kreise sind." Liegt der Pol P insbesondere im Mittelpuncte der Curve E2, so sind seine Polaren A2 und J2 der E2 ähnlich, mit ihr ähnlich liegend und concentrisch." Das Nähere hierüber sehe man unten, Aufg. und Sätze, welche sich auf die gegenwärtige Abhandlung beziehen.

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3.1854 gemeinschaftlichen Puncten beider Curven kennen wir also bereits 30, nämlich die 9w und 3a, jeden doppelt gezählt, und die 6 P.; die 24 übrigen haben die Eigenschaft, dafs sie die einen Endpuncte a, solcher besondern Sehnen aca, sind, die S heifsen mögen, bei welchen die im andern Endpuncte a und in der Mitte c an die Basis gelegten Tangenten A und C parallel sind, und welche die Curve S in den Puncten a selbst berühren. Durch die 24 Puncte a, können Curven 8ten Grads gehen.

4. Die 12 gemeinschaftlichen Tangenten der Curven Si und E2 bestehen: 1) aus den 3A, der Basis, jede doppelt gezählt, und 2) aus 6 solchen Sehnen S1, welche zugleich Durchmesser der Basis sind; die 6 Mitten c dieser 6 Sehnen liegen in irgend einem Kegelschnitte C2.

5. Die Curve Sf hat ferner die Gerade G zur dreifachen Tangente, berührt sie in 3 Puncten g.. Diese 3 Puncte sind dadurch bestimmt, dafs sie zu den drei Puncten a ̧ (2.) die vierten harmonischen Puncte sind; d. h., wenn man durch irgend einen Punct drei Gerade A, B, C den 3A, der C3 parallel zieht und zu denselben die 3 vierten harmonischen Strahlen A1, B1, C1 bestimmt, so dafs ABA,C, ABCB1, AC, BC harmonisch sind, oder auch so, wenn man in dem AsymptotenDreieck 34, aus den Ecken durch die Mitten der Gegenseiten die 3 Strahlen A1, B1, C1 zieht: so sind diese Strahlen nach jenen unendlich entfernten Berührungspuncten g gerichtet. (Die auf diese Weise construirten 3 Strahlen sind dann auch beziehlich den Axen der 3 asymptotischen Parabeln parallel, welche die Curve S in den 3 Puncten g fünfpunctig berühren.) Da die Curve S vom 18ten Grad ist, so mufs sie mit der Geraden G aufser den bereits angegebenen 9 Puncten (den 3g, doppelt gezählt, und den 3a), noch 9 andere Puncte, d, gemein haben. Diese Puncte d sind dadurch bestimmt, dafs die zugehörigen Tangenten oder Asymptoten, D1, der Curve durch diejenigen Puncte, do, der Basis C3 gehen, in welchen letztere von einzelnen ihrer Durchmesser, D ̧, berührt wird, und dafs dieselben die diesen Durchmessern conjugirte Richtung haben (I.). Dafs es 9 solche Durchmesser D, giebt, erhellet daraus, dafs sie gemeinschaftliche Tangenten der Curven C3 und E2 sind, welche 12 gemeinschaftliche Tangenten haben, aber wovon drei die Asymptoten A, der C3 sind. Die 9 Asymptoten D sind zugleich solche eigenthümliche Sehnen ada, (= S1), bei welchen die in den Endpuncten a, a, und in der Mitte do an die Basis C gelegten drei

Tangenten A, A, und D, sich in irgend einem Puncte treffen. Also: ,,In einer Curve 3 Grads C3 giebt es, im Allgemeinen, 9 solche Transversalen Do, bei welchen von den drei Schnitten der eine, d, in der Mitte zwischen den beiden andern, a und a,, liegt und wobei die zugehörigen drei Tangenten in irgend einem Puncte Q zusammentreffen, und wo zudem die Tangente D, im mittelsten Schnittpuncte d, zugleich ein Durchmesser der Curve ist." Die Beziehungen, welche die Curve S rücksichtlich der 9 Geraden D, und der 9 Puncte Q zu andern, mit der Basis Cinnig zusammenhängenden Curven hat, werden hier übergangen und sollen bei einer andern Gelegenheit näher in Betracht kommen.

Ο

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6.,,Durch jeden beliebigen Punct Q gehen, im Allgemeinen, 6 Sehnen S, oder aca, und ihre 6 Mitten c liegen allemal in irgend einem Kegelschnitte. Liegt Q in der Basis C3 selbst, so wird diese in demselben von dem Kegelschnitte berührt." Versetzt man Qins Unendliche, so fallen von den 6 Sehnen S, drei auf G und die drei übrigen laufen parallel, und ihre Mitten c liegen in dem ihrer Richtung conjugirten Durchmesser D, sind dessen Schnitte mit der Basis C3. Somit sind von den Tangenten der Curve Si, oder von den Sehnen S1, nur je 3 und 3 parallel und ihre Mitten sind jedesmal die 3 Endpuncte des ihrer Richtung conjugirten Durchmessers D der Basis C3, und auch umgekehrt. 7. Der Berührungspunct s jeder Sehne aca, S mit ihrer Ortscurve S wird durch folgende einfache Construction gefunden. Man lege in ihren Endpuncten a, a, und in ihrer Mitte c an die Basis C3 die Tangenten A, A, und C; ihre Schnitte AA,, AC, CA, mögen beziehlich p, q, q1 heifsen. In A und A, nehme man die Puncte p und p1 so, dafs q und 91 die Mitten der Strecken pp und pp, sind; ziehe sodann die Geraden ap, und a1p, nenne ihren Schnitt r, so geht die Gerade pr durch den gesuchten Berührungspunct s der Sehne au1. Hiezu noch die Bemerkung. Die durch die Puncte p und p1 gezogene Gerade C1, die mit C parallel und mit ihr auf gleicher Seite von p liegt, aber doppelt so weit von p absteht, schneidet die Sehne aa, in demjenigen Puncte s1, welcher mit s zu a und a, harmonisch ist, d. h. asas, sind harmonisch. Geht C insbesondere durch p, so fällt also C, auf C, s, in c, und s entfernt sich ins Unendliche.

8. Aus (2.) folgt, unter andern, der nachstehende Satz.

,,Denkt man sich in derselben Ebene zwei ähnliche Curven dritten Grads, C3 und C3, deren homologe Dimensionen sich verhalten, wie 2:1,

hält die eine, etwa C3, in ihrer Lage fest, so kann die andere auf 24 verschiedene Arten so gelegt werden, dafs beide Curven direct (nicht symmetrisch) ähnlich liegen, einander in irgend einem Paar homologen Puncten m und m, und nebst dem noch in irgend zwei nicht homologen Puncten n und q, berühren." „Durch die 24 Puncte m in der Curve C3 können Curven 8e Grads gehen; eben so durch die 24m, in C3."

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A

III. Liegt der Pol P in der Curve E2 (I. B.), so sind die ihm zugehörigen drei Sehnen S oder aa,, bb, cc, so beschaffen, dafs etwa die drei Endpuncte a, b, c in einer Geraden J, und somit auch die drei andern a1, b1, c1 in einer Geraden J, liegen, so dafs also unter diesen Umständen 4is die innere Polare J in die zwei Geraden J und J, zerfällt, welche parallel sind und gleichweit vom Pol P abstehen, und zudem auch projectivisch gleich sind, indem ab=a1b1, ac = a1c1, bc = b, c, ist. In diesem Falle ist die äufsere Polare jedesmal eine Parabel, deren Axe mit den Geraden J und J, parallel ist (II. 1.). Von den in E liegenden Polen zeichnen sich zunächst folgende durch eigenthümliche Umstände aus. 1) Die schon oben genannten 6 Schnitte P der Curven C3 und E. In jedem derselben wird die Sehne cc, unendlich klein, und daher fallen die Geraden J und J, zugleich mit den Sehnen au, und bb, (oder oben S und S1) aufeinander, auf die dortige Sehne S. 2) Ferner giebt es drei solche besondere Pole, die X, Y, Z heifsen mögen, für welche (nicht allein die innere sondern) zugleich auch die aufsere Polare A' (die Parabel) in ein Paar parallele Gerade A und ▲, zerfällt, welche überdies mit den zugehörigen Geraden J und J, parallel sind. Aufser diesen drei Puncten X, Y, Z giebt es in der ganzen Ebene keinen andern Pol, dessen äufsere Polare A' in zwei parallele Gerade zerfällt.

Über die gesammten Geraden J, J, hat man folgenden Satz.

,,Alle Paure Gerade J und J, in welche die innere Polare J2 zerfällt, wenn der Pol P in der Curve E2 liegt, berühren eine Curve 6ter Classe, J, und 14ten Grads, welche die 6 Sehnen S, zu Asymptoten und die Gerade G, zur vierfachen Tangente hat." Die Curve J° berührt jedoch die Gerade G, nicht in vier, sondern in nur zwei verschiedenen Puncten, aber in jedem doppelt, so dafs sie sich in jedem derselben selbst berührt, und zwar sind diese zwei Puncte zugleich die gemeinschaftlichen Puncte der Curve E2 und der Geraden G, oder die unendlich entfernten Puncle der Asymptoten von E2. „Wird durch den Pol P mit den zugehörigen Geraden J und J, eine dritte Gerade, J,

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 1.

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parallel gezogen, so ist ihr Ort eine Curve 3ter Classe J3 und 4ten Grads, welche die Gerade G, zur Doppeltangente hat, und zwar sie in den eben genannten zwei Puncten berührt." „Daher ist das ganze System der verschiedenen Paare Gerade J und J, auch so beschaffen, dafs jeder Punct der Ebene, im Allgemeinen, der Mittelpunct eines Kegelschnitts ist, welcher irgend drei der genannten Paare berührt, und zwar diejenigen drei Paare, welche den durch den Punct gehenden drei Geraden J entsprechen."

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,,Die 36 gemeinschaftlichen Tangenten der Curve J und der Basis C3 bestehen aus 18 Paar zusammengehörigen Geraden J und J ̧.” Wenn die Geraden J und J, Tangenten der Basis C3 werden, so vereinigen sich von den obigen drei Puncten a, b, c in J irgend zwei, etwa b und c, zu einem Berührungspuncte (bc) oder a; eben so die Puncte b1 und c, in J, zu einem Berührungspuncte (b,c,) oder a1; und damit fallen die Sehnen bb, und cc, in die Berührungssehne aa, zusammen, die wir durch 1 und ihre Mitte, oder den zugehörigen Pol P, durch P, bezeichnen wollen. Die begrenzten gleichen Strecken aa == a1a, von J und J, sollen schlechthin gleiche parallele Tangenten heifsen, aber da ihre Richtungen, von ɑ nach ɑ, und von a, nach a1, gerade entgegengesetzt sind, so sollen sie ungleichliegend genannt werden. Mit Bezug hierauf, bedingt der letzte Satz den folgenden. Eine beliebige Curve dritten Grads, C3, hat, im Allgemeinen, 18 Paar parallele gleiche aber ungleichliegende Tangenten, œa und α11, und die Mitten, P1, der 18 Berührungssehnen S1 (=aa,), liegen in jenem (oben näher) bestimmten Kegelschnitte E2."

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,,Von den 36 gemeinschaftlichen Tangenten der Curve J und der obigen Curve S (II.) fallen 12 auf die Gerade G, 6 andere sind jene besondern 6 Sehnen S, (II. 1.), und die noch übrigen 18 bestehen aus 9 Paar zusammengehörigen Geraden J und J." Da die letztern (als Tangenten der S) zugleich 9 Paar parallele und projectivisch gleiche Sehnen S1, oder zur Unterscheidung S, und Si, sind, so dafs J=S1=abc, J=S=a,b,c1 und ab bea1b1 = = bc bc, ist, wofern und b, die mittlern Puncte, also die Mitten der Sehnen S, und S sind: so hat man weiter, wenn der zugehörige Pol P oder die Mitte der Geraden bb, durch Pi bezeichnet wird, den folgenden Satz. „In der beliebigen Curve C3 giebt es im Ganzen 9 Paar parallele gleiche Sehnen S1 und S¦, und die 9 Mitten P1 der ihre Mitten b und b ̧ verbindenden Geraden bb, liegen in dem oft genannten Kegelschnitte E2."