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Heft. Seite.

Nr. der

2. Geometrie. Abhandlung. 1. Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven. Vom Herrn Professor

J. Steiner zu Berlin. (Abgedruckt aus dem Monatsbericht der hiesigen

Akademie der Wissenschaften vom August 1848.) ........ I. 2. Über solche algebraische Curven, welche einen Mittelpunct haben, und über

darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven, so wie über geradlinige Transversalen der letztern. (Theils Auszug, theils Erweiterung eines am 26. Mai 1851 in der Akademie der Wissenschaften gehaltenen Vortrags.)

Von Demselben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Aufgaben und Sätze, bezüglich auf die vorstehende Abhandlung. Von

Demselben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 106 5. Das elliptische Potenzial. Von Herrn Dr. M. G. von Paucker, b. Secr. der

kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst, corr. Mitgliede der Aka

demie der Wissenschaften zu St. Petersburg. .......... 11. 125 6. Sopra un Teorema di Poligonometria. Nota di P. Tardy, Professore di

Matematiche in Genova. (Estratta dagli Annali di scienze matematiche e

fisiche pubblicati in Roma Marzo 1852.) . . . . . . . . . . . . II. 133 12. Two lettres of the Geometrical correspondence between M. Donkin and M. Spottiswoode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. 225

3. Mech a ni k. 14. Theorie der Dreh- und Flieh- momente der parallelen Seitenkräfte, in welche

Kräfte im Raume zerlegt werden können. Vom Herrn geh. Rathe und Pro

fessor Dr. Schweins in Heidelberg. ............. III. 238 15. Theorie der Mittelpunkte der parallelen Seitenkräfte. Von Demselben. . . III. 246

II. Ange wandte Mathematik.

10. An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of

Electricity and Magnetism. By the late George Green, fellow of Gonville-
and Cains - Colleges at Cambridge. (End of No. 10 tome 39 and No. 22 ,

III. 161 tome 44.) ...· · · · · · · · · · · · · · · · · · · III. 195 Druckfehlerverzeichniss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.

für die

reine und angewandte Mathematik.

In zwa ng losen Hefte n.

Herausgegeben

von

A. L. Crelle.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich - Preussischer Behörden.

Sieben und vierzigster Band.

Erstes Heft.

C Berlin, 1853.

Bei Georg Reimer.
Et se trouve à Paris chez Mr. Bachelier (successeur de Mine Ve Courcier),

Libraire pour les Mathématiques etc. Quai des Augustins No. 55.

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven.

(Vom Herrn Professor J. Steiner zu Berlin.)

(Abgedruckt aus dem Monatsbericht der hiesigen Akad. der Wissens. vom August 1848.) *)

In der Gesammtsitzung der Akademie am 10. August 1848 wurde von Herrn Steiner eine Abhandlung über allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven” vorgelegt.

Diese Curven werden darin nach Grad und Classe aufgefasst; das Wesen der Doppel- und Rückkehrpuncte, der Doppel- und Wendetangenten wird erläutert und die gegenseitige Abhängigkeit dieser Elemente und des Grads und der Classe wird nachgewiesen. Bezeichnen 9 und k beziehlich den Grad und die Classe einer Curve, K' =R", ferner d und r die Zahl ihrer Doppel- und Rückkehrpuncte, so wie | und w die Zahl ihrer Doppelund Wendetangenten, so hat man die drei Gleichungen

(1.) 9691) = k + 2d+ 3r,
(2.) k(k-1) = 9+21+3w,

(3.) 3g(91) = 6d+8r+w, aus denen, wenn von den darin enthaltenen 6 Grössen irgend drei gegeben sind, die drei übrigen gefunden werden; was somit auf 60 Formeln führt.

Bei Bestimmung der Curven durch gegebene Puncte ergiebt sich der folgende bekannte Satz als

Erster Fundamentalsatz: , Durch beliebige gegebene in(n+3)—1 Puncte a, geht eine unzählige Schaur Curven n'en Grads, A", und alle diese Curven gehen nebstdem nothwendig noch durch andere 1(n-1)(n 2) bestimite Puncte Qo, so dass sie ein Curvenbüschel B (A") mit nạ gemeinschaftlichen Schnittpuncten a bilden.” Die Puncte a heissen die bestiminenden, die Puncte a die nothwendigen, und beide insgesammt, die n? Puncte a heissen die Grundpuncte des Büschels B(A").

*) Dieser Monatsbericht wird vornehmlich aus dem Grunde hier abgedruckt, weil auf die darin enthaltenen Erklärungen und Sätze in der nachher folgenden Abhandlung vielfach verwiesen wird.

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 1.

Dieser Satz ist für die Betrachtung der Curven einer der wesentlichsten und fruchtbarsten, indem er zahlreiche Folgerungen gewährt. Dahin gehört unter andern die Erzeugung der Curven durch Curvenbüschel niedrigen Grades, ganz analog, wie die Kegelschnitte durch projectivische Strahlbüschel erzeugt werden. Ferner eine grosse Reihe von Sätzen über gegenseitige Berührung der Curven, wobei sich insbesondere verschiedene merkwürdige Eigenschaften der 28 Doppeltangenten der Curven 4len Grads ergeben.

Über die Polaren werden einige neue weiter gehende Gesichtspuncte aufgestellt, die zu einer Menge neuer Resultate führen.

Werden aus einem beliebigen Puncte P an eine gegebene Curve A" (die Basis) Tangenten gelegt, so liegen die n(n-1) Berührungspuncte in einer Curve An-; und werden aus demselben Punct P an diese neue Curve Tangenten gelegt, so liegen die (n-1)(n-2) Berührungspuncte eben so in einer Curve An-2, und wird so fortgefahren, so erhält man die aufeinander folgenden Curyen An-, An-, An-3, ... A, A', welche die successiven Polaren des Puncts P in Bezug auf die Basis A", und zwar nach der Reihe die 1te, 2te, 3e, ..., (n − 2)", (n − 1)'e Polare genannt, und die in Zeichen wie folgt, dargestellt werden (P),: A" = A=-1; (P)2: A" = An-?; (P)x: A" = Ar-*; (P)n-2: A" =A?;

(P)n-1: A" = A, wobei also z. B. (P)x: A"= A"-heisst: die xle Polare des Puncis P in Bezug auf die Basis A" ist eine Curve vom (n − x)len Grad, = An-*. Die (n − 2)e Polare A ist ein Kegelschnitt und die (n-1) Polare A' ist eine Gerade.

Bewegt sich der Pol P in irgend einer Linie L (Directrix), so wird jede seiner Polaren, wie etwa die x', eine conlinuirliche Schaar Curven A"-*, oder S(An-*), durchlaufen, die irgend eine Curve umbüllen, welche die ze Polar-Enveloppe E, des bewegten Pols P, oder schlechthin die xte Polare der Leitlinie L in Bezug auf die Basis A" genannt wird. In Zeichen wird dies wie folgt ausgedrückt:

(4.) (L)x:A"=S(ATM-*)=E.. Ist die Directrix L eine gegebene Curve, etwa vom glen Grad, =D', so ist auch der Grad jeder ihrer Polaren E., E2, ... En- bestimmt, nämlich es ist allgemein

(5.) (D")x: A"=E+2x–3)(n-3);

vol

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