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Sechs Beweise

des

Fundamentaltheorems über quadratische Reste

von

Carl Friedrich Gauss.

Herausgegeben

von

Eugen Netto.

Leipzig

Verlag von Wilhelm Engelmann

HARVARD

COLLEGE

NOV 22 1901

LIBRARY.

Farrar fund.

8112

84

Erster Beweis

des Fundamentaltheorems über quadratische Reste.')

Disquisitiones arithmeticae.

1801 Lipsiae; Fleischer jun.

(Werke, Bd. I; p. 73—111.)

Quadratische Reste und Nichtreste.

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§ 94. Lehrsatz. Für irgend eine Zahl m als Modul können unter den Zahlen 0, 1, 2, 3, m- 1 bei geradem m nicht mehr als 1m+1, bei ungeradem m nicht mehr als meinem Quadrate congruent sein.

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Beweis. Da die Quadrate congruenter Zahlen einander congruent sind, so wird jede Zahl, die irgend einem Quadrate congruent ist, auch einem Quadrate congruent sein, dessen Wurzel <m wird. Es reicht daher aus, die kleinsten Reste der Quadrate 0, 1, 4, 9, . . . . (m 1)2 zu betrachten. Nun sieht man leicht, dass (m-1)2 = 12, (m − 2)2 = 22, (m—3) 2 sei, u. s. f. Folglich werden bei geradem m die kleinsten Reste der Quadrate (m-1) und (m + 1)2, (1⁄2m — 2)2 und (m + 2)2 u. s. f. dieselben sein; wenn hingegen m ungerade ist, werden die Quadrate (m) und (m+1), (3m — 3)2 und (1⁄2m + 3)2, u. s. w. einander congruent. Daraus erhellt, dass bei geradem m nur solche Zahlen einem Quadrate congruent werden können, welche einem der Quadrate 0, 1, 4, 9,... (m)2 congruent sind; dass dagegen bei ungeradem m jede Zahl, die einem Quadrate congruent wird, nothwendig einem aus der Reihe 0, 1, 4, 9, . (1m 1)2 congruent sein muss. Es giebt also im ersten Falle höchstens m + 1 verschiedene kleinste Reste, im zweiten 1m+1. W. z. b. w.

...

2

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man als kleinste

Beispiel. Für den Modul 13 findet Reste der Quadrate von 0, 1, 2, 3, . . . 6 die Zahlen 0, 1, 4, 9, 3, 12, 10; die weiteren Reste wiederholen sich in umgekehrter Folge 10, 12, 3 u. s. w. Jede Zahl, die keinem dieser Reste und daher einer der Zahlen 2, 5, 6, 7, 8, 11 congruent ist, kann keinem Quadrate congruent sein.

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