die drei Paare von Geraden (,,Minimalgeraden") dar, die durch die beiden Kreispunkte (37) gehen und außerdem je einen der Punkte P1, P2, P3 als Doppelpunkt besitzen. Fassen wir für das Folgende 2, 13, 12 als drei gegebene Konstante auf, die einfacher mit a1, ag, a bezeichnet seien, so ordnet sich die Ptolemäische Gleichung (II) der allgemeineren unter:

(IV)

3

U3

3

2

wo U1 = 0, U2 = 0, Ug = 0 die Gleichungen dreier Geraden sind, die durch einen und denselben Punkt Q1 laufen, und analog V1 = 0, V2 = 0, V1 = 0 die dreier anderer Geraden durch einen und denselben Punkt Q. Denkt man sich vorderhand U1, U2, U3, V1, V2, Vg als sechs beliebige, in den Koordinaten lineare Ausdrücke, so repräsentiert (IV) eine Kurve vierter Ordnung C1, die die sechs Geraden zu Doppeltangenten besitzt. Denn z. B. die Gerade U = 0 schneidet die C in den beiden doppelt zählenden Schnittpunkten von U1 = 0 mit dem Kegelschnitt:

Liegt daher im besondern ein Schnittpunkt zweier Geraden U, oder auch einer Geraden U mit einer Geraden V auf der C1, so ist jener Schnittpunkt ein Doppelpunkt der C, da in ihm die C1 von jenen beiden Geraden je in einem doppelt zählenden Punkte getroffen wird. In unserm vorliegenden, noch spezielleren Falle gehen alle drei Geraden U durch einen Punkt Q1; dieser liegt somit auf der C, und ist also ein Doppelpunkt der Kurve, und das Gleiche gilt vom Punkte Q2. Geht man zurück zur Gleichung (II), so ist damit der Satz bewiesen: Bei beliebigen (reellen) Koeffizienten a, a, as stellt die Gleichung: a1 r11 + args + A3r34 = 0,

(V)

wo 14 24 34 die (mit unbestimmten Vorzeichen genommenen) Entfernungen eines beliebigen Punktes P von drei festen Punkten P1, P., P, bedeuten, eine Kurve vierter Ordnung C, mit zwei (konjugiert imaginären) Doppelpunkten in den imaginären Kreispunkten dar.1)

3

Man nennt eine solche C1 eine verallgemeinerte Lemniskate, oder auch schlechtweg,,Lemniskate".

Die Geraden U1 = 0, U2 = 0, Ug = 0 sind jetzt drei der (vier) imaginären Tangenten, die von dem einen Doppelpunkt an die C1 gehen, und V1 = 0, V2 = 0, V = 0 die drei resp. konjugiert imaginären

2

1) Die Größen 14 241 734 werden auch als die „tripolaren“ Koordinaten eines Punktes P, inbezug auf das Dreieck P, P, P, bezeichnet.

Tangenten, die von dem konjugiert imaginären Doppelpunkt an die C1 gehen. Man bezeichnet, als Analogon zum Kegelschnitt, die reellen Schnittpunkte solcher, von den beiden, in den beiden Kreispunkten liegenden Doppelpunkten ausgehenden konjugiert imaginären Tangenten, als die „Brennpunkte" der Lemniskåte, sodaß es deren vier gibt, von denen drei in die Punkte P1, P2, P3 fallen. Umgekehrt, wählt man irgend drei von den vier Brennpunkten einer Lemniskate als Punkte P1, P2, P3, so ist die Lemniskate durch eine Gleichung von der Form (V) dargestellt. Verfügt man nunmehr im besondern über die Verhältnisse der Konstanten a, a, as so, daß die Lemniskate auch noch durch einen der Punkte P1, P2, P3, etwa P, hindurchgeht, so ist auch dieser ein (dritter) Doppelpunkt der Lemniskate. Dann gehen von den beiden, in den Kreispunkten liegenden Doppelpunkten nur noch je zwei Tangenten an die C4, d. h. die C, besitzt nunmehr nur noch zwei Brennpunkte in den beiden Punkten P1, P.

1

Legt man noch spezieller den a1, a, a, die zweite Bedingung auf, daß die C auch noch einen der Punkte P1, P2, etwa P1 enthält, so ist auch dieser ein (vierter) Doppelpunkt der C1, d. h. die C1 muß in zwei Kegelschnitte zerfallen, die aber für unseren Fall zwei Kreise sind, da sie beide die Kreispunkte enthalten. Da aber auch die beiden Geraden U, 0, V2 = 0 außer dem resp. Kreispunkt die C, noch je in einem doppelt zählenden Punkt treffen müssen, so muß auch der Schnittpunkt P2 auf beiden Kreisen zugleich liegen; mit andern Worten, beide Kreise müssen in den einen, durch P1, P2, P, gehenden Kreis K zusammenfallen.

3

Dann aber, und nur dann, werden die Koeffizienten a1, α, ɑ, in (V) gerade den Entfernungen 23, 13, 12 proportional, und (V) geht in die Ptolemäische Formel (II) über.

Demnach gestattet der Ptolemäische Satz folgende Erweiterung auf „Lemniskaten“ (Kurven vierter Ordnung, die in den „Kreispunkten“ Doppelpunkte besitzen):

,,Greift man von den vier reellen Brennpunkten einer Lemniskate irgend drei heraus, P1, P2, P3, so besteht zwischen den Entfernungen eines beliebigen Kurvenpunktes von P1, P2, P, eine lineare Relation (IV) mit konstanten Koeffizienten, und umgekehrt.

3

Besitzt im besondern die Lemniskate noch einen reellen Doppelpunkt1), etwa P, und damit nur noch zwei reelle Brenn

1) Für die ganz spezielle Lemniskate (x2+ y) + 2e2 (y3 — x2) = 0, deren Brennpunkte (in rechtwinkligen Koordinaten) y=0, xe sind, und für die das Produkt r1r, der beiden Brennstrahlen konstant =e2 ist, bestätigt man in

punkte P1, P, so gilt die erwähnte Eigenschaft nur noch für das eine Dreieck PP, P3.“

Aus dem zweiten Teil des Satzes folgt insbesondere eine merkwürdige Eigenschaft der Brennpunkte eines (Mittelpunkts-)Kegelschnitts. Bekanntlich geht ein Kegelschnitt C, vermöge einer eineindeutigen quadratischen Transformation T, deren drei Fundamentalpunkte P, Q1, Q seien, in eine Kurve vierter Ordnung C1 über, die in P, Q1, Q2 Doppelpunkte besitzt.

4

Es mögen zwei der Fundamentalpunkte, etwa Q1, Q2, in die beiden „Kreispunkte" fallen. Dann ist die C1, das Bild des Kegelschnitts C2, eine Lemniskate mit reellem Doppelpunkt in P.

Unter den in Rede stehenden Transformationen T, von deren drei Fundamentalpunkten zwei in die Kreispunkte fallen, ist die Inversion oder Transformation durch reziproke Radien von spezifisch metrischem Interesse. Unterwirft man daher einen Mittelpunktskegelschnitt C,

- r2 =±r√2 gilt, wenn r den
y = 0) bedeutet.
Denn es ist
Für die allgemeinere

der Tat leicht, daß für jeden ihrer Punkte r1 Radiusvektor vom reellen Doppelpunkt (x = 0, rj + rj = 2(x2 + y2 + e3) = 2r2 + 2e2 = 2 r2 + 2 r1 r2 · Lemniskate hingegen, wo r12 = c2(e2), mit der Gleichung: (x2+y2)+2e2(y2— x3) = c1- e1, berechnet man, daß im ersten Hauptfalle e2 > c2 (,,zweizügige“ Lemniskate) auf der x-Achse (Hauptachse) außer den Brennpunkten F1, F,(x=e) noch die zwei weiteren Brennpunkte F, F(x) liegen, wo e22 = e1- c1. Umgekehrt ist für beliebiges e und ɛ(<e) c1 = e2 (e2 — ɛ2), also c2 = + e√e2 — ε2 eindeutig bestimmt.

Im zweiten Hauptfalle e2 <c2 (,,einzügige" Lemniskate) existieren außer den beiden Brennpunkten F, F, noch zwei Brennpunkte G1, G2(y=±n) auf der y-Achse (Nebenachse), wo e2n2 = c'e1. Umgekehrt ist bei beliebigen e, n, die Größe c eindeutig vermöge c2 = + eve2 + n2 bestimmt.

2

Bezeichnet man nunmehr, den verschiedenen Möglichkeiten entsprechend, resp. mit r;, Q;, 6;(i = 1, 2) die Entfernungen eines beliebigen Kurvenpunktes von F, F, G, so führt die Rechnung zu folgenden vier Hauptmöglichkeiten, je drei Brennpunkte herauszugreifen:

In den beiden ersten Fällen ist bei festgehaltenem i das Vorzeichen der rechten Seite für beide Züge das entgegengesetzte, andererseits auch bei festgehaltenem Zuge für i = 1 und 2 das entgegengesetzte.

In den beiden letzten Fällen kommt nur das positive Vorzeichen in Betracht.

einer Inversion mit dem Zentrum in einem beliebig (sc. nicht auf C liegenden) Punkte P, so ist sein Bild eine Lemniskate mit reellem. Doppelpunkt in P.

Seien F1, F, die beiden (reellen) Brennpunkte des Kegelschnitts C2, so schneiden sich in ihnen je zwei Minimalgerade, die zugleich Tangenten der C sind. Diese Tangenten besitzen aber als Bild vermöge der Inversion gerade die Tangenten, die von den beiden imaginären Doppelpunkten der Lemniskate an die letztere gehen, d. h. die Bilder der beiden Brennpunkte F1, F, sind gerade die beiden oben mit P1, P2 bezeichneten Brennpunkte der Lemniskate. Darin ist der Satz über Kegelschnitte enthalten: „Man verbinde einen beliebigen Punkt P der Ebene mit den beiden Brennpunkten F1, F2 eines festen Kegelschnitts (der nicht durch P hindurchgeht). Die beiden Verbindungsgeraden mögen den Kegelschnitt in den (stets reellen) Punkten Ą, B1, resp. A2, B2 treffen. Unterwirft man die Figur dieser beiden Punktetripel A1, F1, B1; A, F, B. irgend einer Inversion mit Zentrum in 0, und sind Ai, P1, Bi; A2, P2, B2 die Bilder jener sechs Punkte, so besteht zwischen den Entfernungen irgend eines der vier Punkte Ai, A, B, B von den drei Punkten P, P1, P2 eine lineare Relation mit denselben Koeffizienten."1)

Es wird manchem Leser erwünscht sein, für den oben dargelegten geometrischen Gedankengang des obigen dritten Beweises vom Ptolemäischen Satze und seiner Umkehrung eine analytische Bestätigung zu sehen. Eine solche mag daher noch folgen. Um die Rechnung zu vereinfachen, mögen von vornherein die Punkte Q, Q, durch die die drei Geraden U resp. V (s. Gl. (III)) gehen sollen, in die beiden Kreispunkte verlegt werden. Die drei Punkte P(U; = 0, V¡ = 0, i 0, i = 1, 2, 3) mache man zu Ecken eines Koordinatendreiecks und lege der Rechnung Dreieckskoordinaten x1, x2, x3, zu Grunde. Versteht man dann unter P1, P2, P3 die drei Winkel des Dreiecks, unter S1, S2, S3 ihre Sinus, unter C, C, C ihre Kosinus, so lautet) die Gleichung des durch P1, P2, P3 gehenden Kreises (des „Umkreises" des Koordinatendreiecks): (40) 8 1 X 2 X 3 + Sq X1 X3 + S3 X1 X2 = 0;

i

ferner die Gleichung des Paares der von der Ecke P, ausgehenden Minimalgeraden:

(41)

x2 + xi + 2xzxic; = 0 (i, k, l = 1, 2, 3).
X

1) Und das Nämliche gilt von jedem Punkte x', der vermöge der Inversion aus einem Punkte x des Kegelschnitts hervorgeht.

2) Man vgl. etwa Salmon-Fiedlers Kegelschnitte, Kap. IV.

Somit erhält die Gleichung (V), wenn α, α, α beliebig gegebene Koeffizienten bedeuten, die Gestalt:

i=3

(V)

Σ Vα; (x2 + x2 + 2xxX1C;) = 0,

i=1

d. i. also die Gleichung einer verallgemeinerten Lemniskate C1, von der drei reelle Brennpunkte in P1, P2, P3 liegen.

Soll jetzt der Punkt P1(x = 0, x = 0) auf der C1 liegen, so ergibt sich sofort als Bedingung Va2+ Vα= 0, oder

Man bestätigt leicht, daß in der Tat jetzt P1 ein Doppelpunkt der Kurve ist, indem in der rational gemachten Gleichung (IV') die Koeffizienten von x1, xix, xix, verschwinden.

Soll weiter auch P, auf der Kurve liegen, so ist auch a1 = αg, mithin ergibt sich für (IV) die symmetrische Gestalt:

Es ist zu zeigen, daß (VI) den Umkreis des Dreiecks P1, P2, PÅ doppelt zählend darstellt.

(VI)

Macht man (VI) rational, so erhält man sofort:

+ 2X}XqX3(C1 + €q¤y) + 2x2X1X3(C2 + G1 C3) + 2 X3 X1 X2 (C3 + €1 €2) = O.

Da aber B1, B2, B3 die Winkel eines Dreiecks sind, so ist c1 = cos ẞ1 Bi = cos (P2+ B3)=Cg C3 + SS, etc.; durch Einsetzung dieser Werte S3 für C1, C2, C3 wird offenbar die linke Seite von (VI) das Quadrat der linken Seite von (40). Damit ist der Satz des Ptolemäus nebst seiner Umkehrung aufs neue bewiesen, und man neue bewiesen, und man erkennt zugleich, daß Gleichung (VI) nichts anderes als die Ptolemäische Formel (II) in Dreieckskoordinaten ist.

4. Einführung der komplexen Größen. Führt man komplexe Größen ein, sodaß z = x+iy einen Punkt der Ebene darstellt, so erweist sich der Satz des Ptolemäus nebst seiner Umkehrung als gleichwertig mit dem bekannten Satz1) aus der Theorie jener Größen, daß

1) In der Tat, sind z1, Z, Z, 2 irgend vier Punkte P1, P, P1, P, der Ebene und bezeichnet, wie in Nr. 1, rik (i <k) die absolute Entfernung PP, ferner Z resp. z, den Winkel der Strecken 71, 724 resp. 71, 74, so hat man unmittel

bar 1-12 X 21313 es, also nimmt das Doppelverhältnis

=

Z4

Z. 124

734