grenzt dann in der Tat ein Flächenstück, ein Satz, der neuerdings von Schoenflies als umkehrbar nachgewiesen wurde. Eine Jordan-Kurve hat nicht ohne weiteres, sondern nur, wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind, die Eigenschaften, Bogenlänge, Tangente, Krümmung usw. zu besitzen. Ein einfaches Beispiel einer Jordan-Kurve, die zwar überall Tangente, aber nirgends Krümmung besitzt, liefert eine Figur, die zuerst in der Theorie der automorphen Funktionen auftrat. Man erhält dieselbe, wenn man von vier in cyklischer Folge sich berührenden Kreisen ausgeht und fortgesetzt durch Spiegelung jedes Kreises an allen übrigen neue Kreise erzeugt. Die sämtlichen Berührungspunkte dieser Kreise bilden dann die besagte, nichtanalytische Jordan-Kurve. Diesen präzisionsgeometrischen Abschnitt schließt Klein mit einem Exkurs über die Notwendigkeit und Nützlichkeit der Mengenlehre, wendet sich aber andererseits gegen willkürliche Neuschöpfungen von Begriffen, falls nicht durch dieselben ein erkenntnistheoretisches Bedürfnis befriedigt wird. Aber gerade dieses findet statt bei den von Klein als unzweckmäßig und überflüssig verworfenen transfiniten Größen Veroneses; denn durch die widerspruchsfreie Existenz derselben wird die Unabhängigkeit des Archimedischen Axioms von den übrigen Axiomen der Arithmetik dargetan. Die noch folgenden Kapitel sind der „praktischen" Geometrie gewidmet, d. h. einerseits der ,,messenden" oder Geodäsie, andererseits der durch Zeichnen und Modelle „darstellenden" Geometrie. In der Geodäsie sind die approximativen Methoden am vollkommensten und klarsten entwickelt worden, während im Gegensatz hierzu in der zeichnenden Geometrie sich erst bescheidene Ansätze in dieser Hinsicht vorfinden. An der Pothenotschen Aufgabe wird die Abhängigkeit des Fehlers in der Lage eines Punktes von den Fehlern der zu Grunde liegenden Messungen, an der Hansenschen Aufgabe die Methode der kleinsten Quadrate illustriert. Als typisches Beispiel eines approximationsgeometrischen Satzes wird der Legendresche Satz für kleine sphärische Dreiecke angeführt. In dieselbe Kategorie von Sätzen gehören z. B. noch die Maskelyneschen Formeln sin x = x cos3 x und ähnliche. 1 In der höheren Geodäsie würde es unmöglich sein, von Tangentialebenen und geodätischen Linien u. dgl. auf der Erdoberfläche zu sprechen, wollte man, wie in der präzisen Flächentheorie, Differentiale der Koordinaten zu Grunde legen; an deren Stelle müssen vielmehr, wegen der im kleinen zu unregelmäßigen Beschaffenheit der Erdoberfläche, endliche, sogar ziemlich beträchtliche Differenzen eingeführt werden. So schiebt sich zwischen Differentialrechnung und Praxis eine rationelle Differenzenrechnung. Klage, daß die Differenzenrechnung gegenüber der Differentialrechnung, in der sie früher stets traktiert wurde, vernachlässigt würde, ist wohl kaum ganz gerechtfertigt; die Differenzenrechnung hat sich eben von einem Appendix der Differentialrechnung zu einer selbständigen Disziplin ausgewachsen. Die In der zeichnenden Geometrie bildet die Geometrographie Lemoines nur erst einen Ansatz zu einer Fehlertheorie. Das Maß der Einfachheit einer Konstruktion, zusammengesetzt aus den Anzahlen der Elementarkonstruktionen, ist noch kein Maß der Genauigkeit, weil dabei ganz ungleichartige Größen als gleich bewertet werden. So ist die Gerade zweier nahen Punkte weniger genau als die zweier entfernter Punkte bestimmt. Aber selbst, wenn man von diesen von Fall zu Fall wechselnden Verhältnissen zunächst abstrahiert, um zu allgemeinen, wenn auch nur im Durchschnitt geltenden Sätzen zu kommen, so müßte man die mittleren Genauigkeiten der verschiedenen Elementarkonstruktionen zueinander in Beziehung setzen, z. B. das Verhältnis der Genauigkeiten, mit der ein Punkt durch zwei Gerade und mit der eine Gerade durch zwei Punkte bestimmt wird, ermitteln. Eine solche Fehlertheorie hätte natürlich nicht an die exakten Sätze, sondern an die analogen Approximationssätze anzuknüpfen, wie insbesondere an dem Pascalschen Satze des näheren erläutert wird. Der exakte Pascalsche Satz kommt darauf hinaus, daß das Verschwinden einer gewissen Determinante D dasjenige einer anderen nach sich zieht. Für die zeichnende Geometrie kommt dagegen der „,approximative" Pascalsche Satz in Betracht: wenn D klein ist, ist auch 4 klein. Der Nachweis solcher Sätze erfolgt am einfachsten und vollständigsten durch Ermittelung der Relation zwischen den Größen, die, gleich Null gesetzt, die Voraussetzungen und die Behauptung des Satzes ausdrücken. Im vorliegenden Fall heißt dieselbe einfach D = ▲ und enthält daher sowohl den präzisen, als den approximativen Pascalschen Satz in sich. --- Die gestaltlichen Verhältnisse der empirischen Kurve gestatten Rückschlüsse auf die entsprechenden Eigenschaften der Idealkurve, jedoch im allgemeinen nur, wenn die letztere in jedem Punkte bestimmte Richtung und Krümmung hat. Eine interessante Anwendung hiervon macht Klein auf das schon früher von ihm behandelte Problem der Anzahl w der reellen Wendepunkte einer ebenen algebraischen Kurve der Ordnung n. Hier vermutete schon Salmon den von ihm induktiv gefundenen Satz, daß diese Anzahl höchstens ein Drittel der überhaupt möglichen Wendepunktanzahl 3n(n-2) beträgt, und Klein zeigte, daß in der Tat n(n − 2) — w nie negativ, nämlich stets der doppelten Anzahl der reellen isolierten Doppeltangenten gleich ist. Bei der Herleitung dieses Resultates ist ein Hauptpunkt der Satz, daß eine algebraische Kurve (resp. Fläche) die Ebene (resp. den Raum) in eine endliche Anzahl Kammern zerlegt. Ohne den Beweis hierfür durchzuführen, weist Klein darauf hin, daß andernfalls eine mit den Eigenschaften der algebraischen Funktionen unverträgliche Häufungsstelle vorhanden sein müßte. Aber der Beweis des Satzes folgt direkt und elementar aus dem Umstande, daß eine algebraische Kurve eine Gerade in eine endliche Anzahl von Stücken teilt, die sich endlich oft ändert, wenn die Gerade die Ebene z. B. durch Parallelverschiebung beschreibt; ebenso folgt der entsprechende Satz für n Dimensionen durch den Schluß von n auf n + 1. In einem Anhange wird noch von der Versinnlichung idealer Gebilde durch Zeichnungen und Modelle, insbesondere von der Darstellung der singulären Punkte der Raumkurven und Flächen dritter Ordnung gehandelt. Die vorstehend versuchte kurze Skizze kann von dem reichen und vielseitigen Ideengehalte des Werkes, von den mancherlei darin ruhenden Keimen zu neuen Untersuchungen höchstens einen ungefähren Begriff geben. Möchte es das Interesse an der Approximationsmathematik beleben und möchte es dazu beitragen die Erkenntnis ihrer Wichtigkeit zu verbreiten. Königsberg i/Pr. TH. VAHLEN. Vermischte Mitteilungen. 1. Aufgaben und Lehrsätze. Lösungen. A. Aufgaben und Lehrsätze. 98. Die Erde werde als eine Kugel vom Umfange 40000 km vorausgesetzt. Zwei Punkte A und B von derselben geographischen Breite (= 521) haben auf dem zugehörigen Parallelkreise den kleinen Abstand b (= 1 km). Um wieviel ist der Bogen des durch A und B gelegten Großkreises der Kugel kürzer als b? Welches ist der Abstand der Mitten der beiden durch A und B gehenden obigen Kreisbogen? Man lege durch A denjenigen Großkreis, der den durch A gehenden Parallelkreis in A berührt, und bezeichne den Schnittpunkt dieses neuen Großkreises mit dem Meridian von B mit C. Wie groß ist BC? Man messe auf AC von A aus die Strecke AD b ab; wie groß ist CD? Die für b 1 km zu berechnenden Zahlenwerte sind in Millimetern auf fünf geltende Stellen anzugeben. Berlin. = E. LAMPE. 99. Zur Bestimmung der Gestalt einer Kurve in der Nähe eines singulären Punktes wird vielfach folgende Methode empfohlen. Man mache die Tangente in diesem Punkte zur Abszissenachse, die Normale zur Ordinatenachse eines Koordinatensystems der x und y und entwickele x und y nach steigenden Potenzen einer unabhängigen Veränderlichen t man dann x = atm + a1 fm + 1 + Aqtm+2 + y = bt" + b1TM+1 + bg th + 2 + ..., Erhält wo nm ist und a und b von Null verschieden sein sollen, so ist der Anfangspunkt ein Flachpunkt, Wendepunkt, Spitze erster Art, Spitze zweiter Art (Schnabel), jenachdem m und n ungrade, grade; ungrade, ungrade; grade, ungrade; grade, grade sind. Setzt man aber t = so ergibt sich eine Darstellung von x und y durch u, die ebenfalls von der verlangten Beschaffenheit ist, und daraus würde folgen, daß jeder Punkt der Kurve ein Schnabel ist. Wo steckt der Fehler und welcher Einschränkungen bedarf jene Methode, damit sie richtige Ergebnisse liefert? Kiel. P. STÄCKEL. B. Lösungen. Zu 70. (Bd. IV, S. 349) (E. Lampe). In der Ebene der Kardioide nehme man die Achse OA (= 2a) zur x-Achse, die durch O zu OA gezogene Senkrechte zur y-Achse; außerdem sei die durch O zur xy-Ebene gelegte Senkrechte die z-Achse. Ferner sei ein Punkt des über OP als Durchmesser errichteten Kreises, und es sei von Q aus auf OP das Lot QR, von Raus auf OA das Lot RS gefällt. Dann ist Q ein Punkt der zu bestimmenden Fläche, und seine Koordinaten sind so ergibt sich als Polargleichung der zu bestimmenden Fläche 22 ra(1+cos ) — r2 und in rechtwinkligen Koordinaten (x2 + y2 + z2 — ax)2 — a2 (x2 + y3). Um das von der Fläche eingeschlossene Volumen V zu ermitteln, kann man von der Polargleichung ausgehen. Dann ist der eine Quadrant dieses Volumens bestimmt durch die Gleichung fr — r2.dr= r2.dr=1r oder r Var (1+cos ↓) — r2. dr = ¦¿ ña3 (1+cos 9)3. wenn V' das Volumen derjenigen Kugel bedeutet, deren Durchmesser gleich der Achse der Kardioide ist. Prenzlau. W. STEGEMANN. Bemerkung zu der vorstehenden Lösung. Die behandelte Aufgabe ist meinen Übungen für das zweite Semester an der hiesigen Technischen Hochschule entnommen; ihre Lösung kann durch Anwendung der Guldinschen Regel sofort auf ein einfaches Integral gebracht werden. Denkt man sich den Körper durch Rotation eines variablen Kreises um eine Achse entstanden, die durch den Rückkehrpunkt der Kardioide geht und zu ihrer Ebene senkrecht ist, so ergibt sich das Volumen dV des durch Rotation des Kreises vom Durchmesser r1 um den Winkel de erzeugten Elementarkörpers: in Übereinstimmung mit dem Resultate der ersten Integration des oben berechneten Doppelintegrals. Auch die zweite Integration kann nach Ersetzung von 1 + cos durch 2 cos2 und Benutzung des bekannten Integrals ein wenig abgekürzt werden. Ein Eingehen auf die Eigenschaften der betrachteten krummen Oberfläche wäre noch zu wünschen gewesen. Berlin, Oktober 1903. E. LAMPE. Zu 81. (E. N. Barisien.) -Aus der Polargleichung der Ellipse folgt: Richtung der Hauptachse bildet. Wählt man diese als x-Achse eines recht |