a', b, c), die Inhalte der Begrenzungsdreiecke (4a'b'e', Aabe, Aab'e, Aabe) und der Rauminhalt (T) in rationalen Zahlen gemessen werden: Ist ein solches Beispiel schon bekannt, insbesondere ein solches, das, wie das vorliegende, keine Symmetrieebene und lauter schiefe Kanten- und Flächenwinkel besitzt? Berlin. R. GÜNTSCHE. 11. Zwischen den Seiten a, b, c und den Winkeln a, Kugeldreiecks besteht folgende Beziehung: b a a (cot cot+cot cota + cot cot-1) (tgtgtgtga+tg Ist diese bekannt? 2 -1). R. GÜNTSCHE. = 4. 12. Durchlaufen n Punkte einer Ebene n ähnliche Figuren in gleichem Umlaufsinne derart, daß sie in jedem Momente der Bewegung sich in homologen Punkten befinden, so beschreibt auch ihr Schwerpunkt eine ähnliche Figur. Ist dieser Satz schon irgendwo mit Beweis veröffentlicht? M. ZACHARIAS. 13. Für jedes ebene Dreieck ABC besteht der Satz: Konstruiert man über den Seiten des Dreiecks nach außen gleichseitige Dreiecke, so bilden die Mitten derselben die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, welches denselben Schwerpunkt wie das Dreieck ABC besitzt. 1 Der Beweis dieses Satzes läßt sich ohne Benutzung von Hilfslinien folgendermaßen führen: Die Spitzen der über den Seiten BC, CA und AB errichteten gleichseitigen Dreiecke seien A, B, und C1, ihre Mitten A, B und C. Denkt man sich in den Punkten A, B und C drei gleiche Massen m1, mg und m, befindlich, so ist A, deren Schwerpunkt. Läßt man m, nach C, m, nach A und m, nach B1 gehen, so bewegt sich der Schwerpunkt nach B. Geht nunmehr m1 nach B, m, nach C1 und m nach A, so geht der Schwerpunkt nach Co. Kehren endlich die Massenteilchen in ihre anfänglichen Lagen zurück, so langt auch der Schwerpunkt wieder in A, an. Alle drei Massenteilchen haben gleichseitige Dreiecke durchlaufen, und zwar in gleichem Sinne. Nun gilt aber der Satz: Durchlaufen n Punkten untereinander ähnliche Figuren in gleichem Sinne, so durchläuft auch ihr Schwerpunkt eine ähnliche Figur. Folglich ist A, B, C ein gleichseitiges Dreieck, Um zu beweisen, daß A, B, C2 denselben Schwerpunkt wie ABC besitzt, denken wir uns drei gleiche Massen in den Punkten A, B und C angebracht. Lassen wir diese Massen die ähnlichen Dreiecke AB, C, BCA und CA, B durchlaufen, so muß ihr Schwerpunkt ein ähnliches Dreieck beschreiben. Da nun aber C, A und B denselben Schwerpunkt wie A, B und C besitzen, so reduziert sich die letzte Seite des vom Schwerpunkte durchlaufenen Dreiecks und somit dieses Dreieck selbst auf einen Punkt. A B C2 hat also denselben Schwerpunkt wie ABC. Von wem rührt der schon lange bekannte Satz vom Dreieck her, und wo ist er veröffentlicht? 27 n Teilt man die Achse des Drehungszylinders in gleiche Teile ein und bildet man die entsprechenden Parallelkreise und außerdem Meridianschnitte, die unter Winkeln aufeinander folgen, so ist seine Oberfläche Ist der Zylinder der einbeschriebene eines 2π n in kleine „Quadrate" eingeteilt. Tractrix Verhältnis gilt aber für die gnomonische Abu bildung der Meridian elemente auf die Zylindergeraden. Folglich wickelt sich die Zylindergerade so auf den Meridian des Katenoids ab, daß die obigen Teilpunkte wieder gegeben werden, und umgekehrt findet dasselbe statt. Der Radius des Zylinders ist dabei als 1 vorausgesetzt. In der Figur finden also folgende Beziehungen statt. Entspricht A bei gnomonischer Abbildung dem Punkte A, der Kugel und ist OA1 gleich dem Bogen der Kettenlinie OA, so gibt die Horizontale AA, den Punkt A, des Zylinders, der demselben Kugelpunkte bei der konformen Abbildung (Mercatorsche Abbildung) entspricht. Dabei ist der Krümmungsradius der Kettenlinie parallel dem Kugelradius MA, der zu MA, symmetrisch ist, so daß die drei in der Figur mit y bezeichneten Winkel von derselben Größe sind. Die Beweise sind so einfach, daß sie sogar elementar geführt werden können. = Neu dürfte sein, daß der Meridian des quadratisch eingeteilten Katenoids, auf die Zylinderseite abgewickelt, die gnomonische Einteilung der letzteren gibt. Da man aber die Länge des Bogens der Kettenlinie findet, indem man z. B. über DF als Durchmesser einen Halbkreis zeichnet, FE= = MO als Sehne einträgt, wobei DE OD ist, so kann man bei der konformen Abbildung des Katenoids auf die Kugel die Gaußsche Abbildung umgehen. Axialprojektion des Katenoids auf die Zylinderfläche gibt die konforme Abbildung auf den Zylinder und umgekehrt. Gaußsche oder die ebengenannte Ersatzabbildung gibt die konforme Abbildung auf die Kugel. Durch Abwickelung des Zylinders erhält man die Mercatorkarte, durch stereographische Projektion die Polarkarte der Kugel. Durch Abwickelung der eingeteilten Kettenlinie auf die Zylinderseite die (nicht konforme) gnomonische ist das Vergrößerungsverhältnis zwischen Kugelfläche und Abbildung; 1 sin y 1 das zwischen Kugelfläche und Katenoid und zugleich Mercatorkarte, sin3y Hagen. G. HOLZMÜLLER. Zur Geometrographie der Mascheronischen Kreisteilungen. Die Mascheronischen Kreisteilungen, die in dieser Zeitschrift ((3) 6 146, 1903; Berl. math. Ges. 2, 14, 1903) geometrographisch behandelt wurden, lassen eine kleine Vereinfachung zu; die Fünfteilung läßt sich mit 18 (statt 20), die Zehnteilung mit 22 (statt 24), die Siebzehnteilung mit 58 (statt 59) Elementaroperationen ausführen. Näheres darüber im Arch. in einem späteren Teil der „Beiträge" des Unterzeichneten. Berlin. R. GÜNTSCHE. 4. Bei der Redaktion eingegangene Bücher. ABRAHAM, H., Recueil d'expériences élémentaires de Physique. I. Travaux d'atelier. BALL, R., On the reflection of screw-systems and allied questions. Transactions 14 8. M. 5. EXNER, F., und HASCHEK, E., Wellenlängen-Tabellen für spektralanalytische Unter- Henke, R., und HEGER, R., Schlömilchs Handbuch der Mathematik. je M. 5. Zweite Auf lage. Erster Band: Elementarmathematik. 611 S. Zweiter Band: Höhere Mathematik. I. Teil. 765 S. Leipzig 1904, Joh. Amb. Barth. KOLLERT, J., Katechismus der Physik. Leipzig 1903, J. J. Weber. 6. Aufl. 593 S. M. 7. MATHIAS, E., Le point critique des corps purs. Paris 1904, C. Naud. 255 S. NIPPOLDT, A., Erdmagnetismus, Erdstrom und Polarlicht. Leipzig 1903, Göschen. 136 S. M. 0.80. PIONCHON, J., Grandeurs géométriques. (Bibliothèque de l'élève ingénieur IV.) M. 2. SAGER, P., Übersicht über die Entwicklung der Theorie der geodätischen Linien seit Gauß. Inaug.-Diss. Rostock 1903. 89 S. SCHUBERT, H., Elementare Berechnung der Logarithmen, eine Ergänzung der Arithmetik-Bücher. Leipzig 1903, Göschen. 87 S. M. 1.60 SCHWANZER, A., Repetitorium der Elementarmathematik. München 1903, M. Kellerer. 142 S. sterdamer Berichte 1903. VERSLUYS, W. A., Focales des courbes planes et gauches. I: Focales des coniques et focales de courbes planes qui n'occupent pas de position particulière. AmAD. WERNICKES Lehrbuch der Mechanik. Her. von Al. Wernicke. I. Mechanik fester Körper. Vierte Auflage. Braunschweig 1903, Vieweg u. Sohn. 1635 S. M. 10. ZEUTHEN, H. S., Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahrhundert. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 434 S. Berichtigungen zu Band VI. S. 220, Z. 12 v. o. Die Anmerkung ") gehört an das Ende der Notiz. S. 222, Z. 9 v. o. lies b; 1 (mod a;). S. 222, Z. 11 v. o. lies b;= 1 (mod a.). S. 340, Z. 12 v. o. lies o statt r. S. 341 ist anstelle der Figur die beifolgende zu setzen: |