Über die Bedingungen der Kreisschnitte der Flächen 2. Ordnung. Von OTTO STAUDE in Rostock. Dupin1) bezeichnete es als „eine Art Paradoxon“, daß die Bedingung der Gleichheit zweier Hauptkrümmungsradien einer Fläche einmal durch eine Gleichung, das Verschwinden der Diskriminante einer quadratischen Gleichung, ein andermal aber durch zwei Gleichungen ausgedrückt werden könnte. Die eigentliche Erklärung dieses Paradoxons gab Amiot2), indem er jene Diskriminante in eine Summe von drei Quadraten zerlegte; das Verschwinden von zweien dieser Quadrate hatte das des dritten zur Folge und war daher mit dem Verschwinden der Diskriminante gleichbedeutend. Im wesentlichen um dasselbe Paradoxon handelt es sich bei der von Hesse gestellten Aufgabe, die Diskriminante der quadratischen Gleichung des Hauptachsenproblems der ebenen Schnitte der Fläche 2. Ordnung als eine Summe von Quadraten darzustellen.3) Diese Darstellung war von Bedeutung deshalb, weil sie einerseits die Realität der Wurzeln der quadratischen Gleichung erweisen und anderseits die Bedingungen der Kreisschnitte liefern mußte. Unter Benutzung der Theorie der orthogonalen Transformation gelang es Hesse1) auf Umwegen, für die in Rede stehende Diskriminante eine Summe von 5, 6, 7 oder 10 Quadraten zu erhalten. Durch Zurückführung des Hauptachsenproblems der ebenen Schnitte auf das der Kegelschnitte in der Ebene gewann bald danach Henrici) dieselbe Diskriminante als Summe von 2 Quadraten. In ausgezeichneter Weise behandelte Souillart) die Aufgabe von Hesse und gab eine Zerlegung der Diskriminante in 2 Quadrate, be 1) Ch. Dupin, Développements de géométrie (1813), 129. 2) B. Amiot, J. de mathématiques (1) 12 (1847), 130. 3) Vgl. Hesse, Vorlesungen über analyt. Geom. des Raumes, 3. Aufl., S. 403 (im folg. unter ,,Vorles." angeführt). 4) O. Hesse, J. für Mathematik 60 (1862), 308; 312. 5) O. Henrici, J. für Mathematik 64 (1865), 191. 6) C. Souillart, J. für Mathematik 65 (1866), 325; 324. Archiv der Mathematik und Physik. III. Reihe. VII. 13 ziehungsweise in ein Produkt von 4 Faktoren, um eine möglichst einfache Gestalt der Bedingungen der Kreisschnitte daraus abzuleiten. Hiermit nahe verwandt sind die von Bauer1) hergeleiteten Resultate, der für die Diskriminante eine Zerlegung in 6 Quadrate und in ein Produkt von 4 Faktoren erhielt. Dagegen gelangte Geiser) auf dem Umwege durch das Hauptachsenproblem der Fläche 2. Ordnung selbst zu einer Darstellung der Diskriminante durch 6 Quadrate. Eine neue direkte Ableitung der Hesseschen Zerlegung gab Sourander.) Auch seine Entwicklungen laufen im wesentlichen mit denen von Souillart zusammen, worauf dieser selbst aufmerksam macht.*) Bei der mannigfaltigen Bearbeitung, welche die Hessesche Aufgabe gefunden hat, dürfte es gestattet sein, im folgenden eine Quadratdarstellung der gedachten Diskriminante mitzuteilen, die sich nicht nur auf äußerst einfache Weise herleiten läßt (in Nr. 2, 3, 4 des folgenden Textes), sondern auch der einzigen Grundform der Bedingungen der Kreisschnitte (Nr. 6) entspricht, auf die schließlich alle analytischen Behandlungen der ganzen Frage mehr oder minder unmittelbar hinauslaufen) (Nr. 7—15). 1. Die quadratische Gleichung des Hauptachsenproblems der ebenen Schnitte. Bezogen auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem Oxyz sei die Gleichung einer Fläche 2. Ordnung: (1) f = α11x2 + αy2 + A33≈2 + 2α23YZ + 2α31zx + 2a12xy + 2a ̧¤ +2α21+ 2α312 + α = 0 und die Gleichung einer Ebene in der Normalform: 1) G. Bauer, J. für Mathematik 71 (1870), 46. 5) Über die ältere Literatur vgl. E. Kötter, Jahresber. d. Math. Ver. 5, S. 72. Die erste Bestimmung der Kreisschnitte der allgemeinen Mittelpunktsflächen 2. Ordnung geben Monge-Hachette, J. éc. polyt. cah. 11 (1802) S. 161; auf die für die Kreisschnitte eintretenden Schnitte in einer endlichen (und einer unendlich fernen) Geraden beim hyperbolischen Paraboloid weisen hin Klügel, Math. Wörterbuch 3 (1808) S. 328 und Hachette, Corresp. polyt. 1 (1808), 433; vgl. Steiner, J. f. Math. 1 (1826) S. 50. Andere Bestimmungen geben Dupin, Dével. (1813) S. 159; Plücker, J. f. Math. 19 (1839) S. 8, sodann mittels der Beziehung zum imaginären Kugelkreis Poncelet, Traité (1822) S. 397; von Staudt, Beiträge (1867), S. 129; vgl. auch Hesse, J. f. Math. 41 (1850), 264 und Vorles. S. 407-411. |