II. L. Schlesinger, de nonnullis absolutae geometriae ad theoriam complexae variabilis functionum applicationibus (p. 1—59). III. P. Stäckel, de ea mechanicae analyticae parte, quae ad varietates complurium dimensionum spectat (p. 61-79). IV. R. Bonola, index operum ad geometriam absolutam spectantium. (p. 81-154). 5. Meine Schlußbemerkung, der von Herrn Bonola verfaßte Index der Werke, die sich auf die absolute Geometrie beziehen, sei nicht lückenlos, ist veranlaßt durch ein der Redaktion von Herrn Meißner in Potsdam, zugegangenes Verzeichnis von 64 Schriften, die in dem Index fehlen. Muß man auch zugeben, daß sich über die Grenzen eines solchen Index streiten läßt, so bleiben doch noch Lücken genug übrig, die meine Bemerkung rechtfertigen. Ein Verzeichnis der fehlenden Schriften an dieser Stelle mitzuteilen, schien und scheint mir auch heute noch, nicht im Interesse der Leser des Archivs zu liegen. 26. März 1904. E. Jahnke. Vermischte Mitteilungen. 1. Aufgaben und Lehrsätze. Lösungen. A. Aufgaben und Lehrsätze. 102. Auf dem Umfange eines Rechteckes wird ein Punkt A angenommen und durch ihn eine Gerade gezogen, die den Umfang des Rechteckes abermals in B treffe. Auf AB werde in B das Lot errichtet, das den Umfang des Rechteckes in C treffe. In C werde auf BC das Lot errichtet, das den Umfang des Rechteckes in D treffe, usw. Wie muß man den Punkt A und die Gerade AB wählen, damit man nach einer endlichen Anzahl von Konstruktionen zum Punkte A zurückgelangt? Kiel. P. STÄCKEL. 103. Mit den Hilfsmitteln der elementaren Geometrie soll der Ort für den Schwerpunkt eines veränderlichen Vierecks gefunden werden, von dem drei Eckpunkte ABC fest bleiben, während der vierte X sich auf einer Geraden g bewegt. Auch der Fall der bei der Bewegung von X auftretenden verschränkten Vierecke soll berücksichtigt werden. Breslau. B. Lösungen. O. GUTSCHE. (1) Zu 100. (7, 262) (Paul Stäckel): Es ist mit Hilfe der Gleichung: Diese Reihe besteht aus lauter positiven Gliedern, ist also absolut konvergent, wenn sie überhaupt konvergiert. Dies aber zeigt der Vergleich mit Daraus folgt aber nach Gleichung (3) und Ungleichung (6): in der sich alle Glieder paarweise fortheben und lim t = 0 ist. Das gibt: OTTO MEISZNER. 2. Anfragen und Antworten. Zu 12, 13 (7, 179) (M. Zacharias). Der angegebene Satz ist eine Folge des allgemeineren Satzes: Teilt man die Verbindungslinien homologer Punkte zweier in einer Ebene liegender,,direkt" ähnlicher Systeme (d. h. solcher Systeme, bei denen je zwei homologe Dreiecke denselben Umlaufssinn besitzen) alle nach einem und demselben Verhältnis, so bilden die Teilpunkte wieder ein ähnliches System. Beschränkt man die Punkte beider Systeme zunächst auf zwei gerade Linien, so ergibt sich der Spezialfall: Teilt man die Verbindungslinien homologer Punkte zweier in einer Ebene liegender ähnlicher Punktreihen in einem und demselben Verhältnis, so bilden die Teilpunkte wieder eine ähnliche gerade Punktreihe. 1) Beweis des Spezialfalls: Die Verbindungslinien homologer Punkte AA1, BB1, CC1, zweier ähnlicher Punktreihen s und s1 sind die Tangenten einer s und s1 berührenden Parabel. Durch jeden Punkt A der Tangente AA1 geht außer dieser noch eine zweite Tangente, welche jede der übrigen, z. B. BB1 oder CC1,... in demjenigen Verhältnis teilen muß, in welchem A, die Strecke AA, teilt; denn je zwei Tangenten einer Parabel werden von den anderen in ähnlichen Punktreihen geschnitten. Die Punkte, welche die Verbindungslinien AA, вВ1, СС1,... nach einem und demselben Verhältnis teilen, liegen also auf einer Geraden. Da diese eine Tangente ist, so muß sie von den Tangenten AA1, BB1, CC1,... in einer zu der Punktreihe s (ABC...) ähnlichen Punktreihe getroffen werden. 19 2) Beweis des allgemeinen Satzes: A und A, seien zwei homologe Punkte der beiden direkt ähnlichen Systeme S und S. Das System der Teilpunkte der Verbindungslinien heiße S. Man verschiebe S, parallel um die Strecke A1A, so daß A, auf A fällt. Dadurch geht S in ein kongruentes System Si über. Die Punkte von S2 werden dabei ebenfalls alle um parallele und unter einander gleiche Strecken verschoben; die Punkte, welche die Verbindungslinien homologer Punkte von S und Si in dem gegebenen Verhältnis teilen, bilden also ein zu S, kongruentes System S. B B2 A C' B' (C) Es seien nun B und Bí irgend zwei andere homologe Punkte von S und Sí. Der Punkt B werde, wenn man ihn als Punkt des ersten Systems S betrachtet, mit C und der homologe Punkt von Si mit C bezeichnet (s. Fig.). B und C seien die Teilpunkte der Strecken BBí und CC, d. h. die den Punkten B und C von S zugeordneten Punkte von S. Da diese beiden Punkte die homologen Strecken BC und BiC der Systeme S und Si in einem und demselben Verhältnis teilen, so sind sie homologe Punkte dieser Systeme. Demnach ist wenn man mit A, B und C die den Punkten A, B und C entsprechenden Punkte von S bezeichnet. Nun folgt aus dem bewiesenen Spezialfalle, daß den geraden Punktreihen von S ähnliche gerade Punktreihen von S2 zugeordnet sind; die beiden Systeme sind also zunächst affin. Wenn aber in zwei affinen Systemen irgend zwei entsprechende Dreiecke ähnlich sind, so sind die Systeme selbst einander ähnlich. Also ist S2 ~ S. P1, 3) Beweis des Schwerpunktsatzes: Die n Punkte P1, P2, ... P durchlaufen gleichzeitig n direkt ähnliche Figuren einer Ebene derart, daß sie sich in jedem Augenblicke in homologen Punkten befinden. Ihr Schwerpunkt heiße Q. Angenommen, für den Schwerpunkt von n 1 Punkten sei der Satz bereits bewiesen, dann durchläuft also der Schwerpunkt R der n - 1 Punkte P1, P2, ..., P-1 eine ähnliche Figur. Der Punkt Q teilt die Strecke RP, in dem Verhältnis 1 : n - 1. Nach dem oben bewiesenen allgemeinen Satze muß also auch Q eine ähnliche Figur beschreiben. Da nun der Schwerpunktsatz für n = 2 offenbar richtig ist (denn der Schwerpunkt zweier Punkte teilt ihre Verbindungslinie in dem Verhältnis 1:1 und durchläuft daher mit ihnen eine ähnliche Figur), so ist der obige Schluß von n − 1 auf n berechtigt und die allgemeine Gültigkeit des Satzes bewiesen. Berlin. M. ZACHARIAS. 14. In den gebräuchlichen Lehrbüchern wird die Summenformel einer endlichen geometrischen Reihe auf algebraische Weise ermittelt und daraus der Wert der Summe einer unendlichen Reihe abgeleitet. Die folgende geometrische Methode, die gerade die Konvergenz sehr deutlich zur Anschauung bringt, habe ich nirgends gefunden; da sie aber sehr naheliegend und einfach ist, glaube ich, daß sie schon bekannt sein muß, und ich möchte mir die Anfrage erlauben, wo die Methode schon veröffentlicht ist. Auf dem Radius AM eines Kreises um M als Mittelpunkt wähle man einen beliebigen Punkt B, ziehe durch B die Sehne PQ1 AM und PM und QM; beschreibe um M mit BM den Kreis, der PM in R, QM in S schneide, ziehe RS, beschreibe um M mit CM den Kreis usw. Es sei AB = a, BC = = = und E, so ist die man setze BM:AM ... längerung des Radius und bilde die Summe AB - BC + CD' Wenn man will, kann nun der Wert einer endlichen geometrischen Reihe durch Subtraktion zweier unendlichen Reihen mit demselben Quotienten und den Anfangsgliedern a und as" gefunden werden. Berlin. с P. SCHAFHEITLIN. 15. Im geometrischen Unterricht bin ich auf eine hübsche, von Rechnungen freie Analysis der bekannten Konstruktionsaufgabe gekommen: Ein Dreieck aus der Summe s zweier Seiten, der dritten Seite c und der auf sie gefällten Höhe h herzustellen. Diese Analysis führt zu folgender Konstruktion: Auf der gleich c gemachten Strecke AB errichtet man die Mittelsenkrechte FRh und trägt auf der durch R zu AB gezogenen Parallelen die Strecke s bis Q ab. Dann zieht man die Geraden QA und QB, die RF und halbiert UV in G. Hierauf beschreibt man um G mit GA den Kreis, der die auf RF in U errichtete Senkrechte in N schneidet, und bringt GN mit QR in C zum Schnitt. AABC entspricht dann den Forderungen der Aufgabe. C in U und V treffen, Ist diese Lösung und die zu ihr führende Analysis bekannt? Breslau. O. GUTSCHE. |