oder ausgeführt, wenn man noch zur Abkürzung setzt (14) (III) (15) Pik rik: C12C34 + C13 C12 + C14023 2012 934913942-2012 034 914 923-2013 042 14 23 0 (i, k = 1, 2, 3, 4) Mit Benutzung der Formeln (11), (12) geht (III) über in: $142 [(r− 1) + 8r(r− 1)2s + 16r2s11] 34 + 813 [(r− 1)2 + 8r(r − 1)2s2 + 16rs] +84 43 [(r− 1)2 + 8r(r − 1)2s2 + 16r s11] — 2812sis[(r — 1)1 + 4r(r − 1)2 (s2 + 834) + 16r2§3⁄4§3] - 28 [(r− 1) + 4r(r − 1)2 (så + S1) + 16r2sis] 14 Ordnet man diese Gleichung nach (r — 1)1, r(r — 1)2, r2, so erkennt man sofort, daß der Koeffizient von 2 verschwindet. Denn dieser Koeffizient (16) 812541 + $13524 +843514-2812813281253-2813533 12°34 entsteht aus der linken Seite der Identität (II) durch genau denselben Prozeß wie die linke Seite von (III) aus der linken Seite von (II). Somit reduziert sich Gleichung (15) auf folgende: Bezeichnet man für den Augenblick den Faktor von (r− 1)1 mit S, den von 8rr 1)2 mit T, so schreibt sich (17) in der abgekürzten Gestalt: (18) (r − 1)2 { (r + 1)2S + 4r (2 T — S) } = 0. Da es von vornherein wahrscheinlich ist, daß der Kreis die einzige Kurve ist, der die Ptolemäische Eigenschaft zukommt, und die Gleichung des in Rede stehenden Kreises (1) in der Gestalt geschrieben werden kann, so hätte man nur zu zeigen, daß in (18) der Koeffizient 27-S verschwindet, denn dann würde sich in der Tat (18) auf Nun ist der Ausdruck S, d. i. der Koeffizient von (r — 1)1 in (17), auf Grund der bei (16) gemachten Bemerkung nichts anderes als (21) S=-($12+ $13 + S23) ($12 +$13 — S23) ($12 — S13+ S23) (−512 +$13 +S23), während sich der Ausdruck T, d. i. der Koeffizient von 8r(r- 1)2 in (17) anordnen läßt wie folgt: Die drei Winkel 1 — 2, 2 — ¶3, 91-93 sind in sehr einfacher Weise miteinander verknüpft; es ist: (91-92) + (293) + 4R− (1 − 3) = 4R, oder, was dasselbe ist: (23) 1 ( 1 − 2) + 1 ( ❤ 2 — 93) + 2R — 1 (P1 — P3) 93) = 2R. Setzt man daher zur Abkürzung (24) (91-92) = α, 1 (92 — 93) = ß, 2R — 1 (91 — 93) so kann man trigonometrische Relationen heranziehen, die für drei Winkel a, ẞ, y von der Summe = 2R gelten, wobei zu beachten ist, daß die Sinus der drei Winkel a, ß,7 genau mit unsern Größen $12, S13, S23 übereinstimmen. Für die rechte Seite von (21) benutzen wir somit die bekannte Umformung dagegen für die drei Klammerfaktoren der rechten Seite von T (22) die andere: (26) sina + sin ẞ- sin2 y 2 sin a sin ẞ cos y nebst den beiden entsprechenden. = Die Formel (26) zeigt, daß auch noch die Kosinus der drei Winkel P2 2 Ps 91 ዎs zu berücksichtigen sind. Bezeichnet man dieselben entsprechend, wie die Sinus, mit C12, C3, C13, so hat man (C=Cxi): 2 2 2 " 2 = S23 — S12 — 813 — — 2512513 €23-2512 S31 C237 und hierdurch erhält der Ausdruck T (22) die Gestalt: (29) T = 2(S1234523531 C12+ S3 S4 $12 $31 €23 + $135 34 512 523 C31) 23 14 2512 523 531 (S12 C12 534 + S23 €23 S4 + S31 €31 S24). Die zu untersuchende Differenz S-2T nimmt demnach auf Grund von (25) und (29) die Form an: (30) S-2T - 512 523 531 (4512 523 531 +4($12 C12834 + 523 C23 $14 + 531 C31 S24) } . Führt man im zweiten Gliede der geschweiften Klammer wieder die ganzen Winkel 99 ein, so kommt: = cos (29)} sin (912) + sin (92 — 93) + sin {4R — (91 — 93)} 1 -[sin(12) cos (43 — 41) + sin (293) cos (1 − s) 1 Aber der in der eckigen Klammer eingeschlossene Ausdruck ist identisch Null1); denn entwickelt man wiederum die Sinus und Kosinus der Winkeldifferenzen nach dem Additionstheorem und dividiert mit dem Produkte cos 1 cos 2 cos 3 COS P47 so kommt: (tg 1 — tg +(tg - tg + (tg 93 − tg Andererseits sind die im ersten Teile der rechten Seite von (31) unter den Sinus stehenden Winkel gerade 2a, 26, 27; da aber nach einer ebenfalls sehr bekannten Formel (für a + B + y = 2R) sin 2a + sin 2ẞ + sin 2y = 4 sin a sin ẞ sin y, so reduziert sich die rechte Seite von (31) auf 4812813 $23. 1) Dies geht auch unmittelbar aus der in ganzen Winkeln geschriebenen Identität (II) hervor, indem man letztere nach 9, differenziert. Also ist in der Tat, gemäß (30): (32) S-2T = $12 $13593 (-4819513523 + 4512 $13523) = 0, womit die Umkehrung des Ptolemäischen Satzes (nebst diesem selbst) völlig bewiesen ist. 3. Fortsetzung: Vereinfachungen und Verallgemeinerungen. Die trigonometrische Rechnung des Nr. 2, die nicht gerade als eine einfache bezeichnet werden kann, habe ich mitgeteilt, einmal der Vollständigkeit halber, sodann, weil manche Leser gerade an derartigen Rechnungen Gefallen finden. Nach meiner Ansicht soll aber die Mathematik Rechnungen von solcher Undurchsichtigkeit nach Möglichkeit ganz vermeiden. Ich werde daher im folgenden zunächst einen neuen Beweis für die Umkehrung des Ptolemäischen Satzes geben, bei dem die Rechnung auf ein Minimum reduziert ist, sodann aber einen dritten Beweis, der sich nur einfacher geometrischer Schlüsse bedient und gerade deshalb einige Verallgemeinerungen von Interesse zuläßt. Geht man, wie in Nr. 2, von der Forderung (II) oder (13) aus, daß für drei feste Punkte P1, P2, P3, auf dem Kreise (1) und einen unbestimmten Punkt P(X11) die Ptolemäische Eigenschaft erfüllt sein soll, so resultiert jedenfalls eine rationale Gleichung vierter Ordnung in x, y, die also für den unbekannten Ort des Punktes P1 eine Kurve vierter Ordnung C1 ergibt. Da aber unser Ausgangskreis K die Ptolemäische Eigenschaft besitzt, so muß C in diesen Kreis und noch einen Kegelschnitt C2 zerfallen. Es soll gezeigt werden, daß dieser Kegelschnitt C2 mit dem Kreise K zusammenfällt. Zu dem Behuf wird man einmal beweisen, daß C, durch die drei Punkte P1, P2, P3 hindurchgeht. Dies geschieht dann und nur dann, wenn jede der Seiten des Dreiecks PPP, die C, so in vier Punkten trifft, daß sie zu je zweien mit den bezüglichen Ecken der Seite koinzidieren. 1 4 4 Man betrachte etwa die Gerade P1P2. Ein beliebiger Punkt P1(Y1) auf ihr hat die Koordinaten: (33) (34) Für einen solchen Punkt P, ergibt sich unmittelbar: 4 wo X einen Faktor bedeutet, der gar nicht berechnet werden soll, da er weiterhin doch nicht in Betracht kommt. 4 Damit zerfällt aber für einen Punkt P1 (33) die Gleichung (13) ohne weiteres in zwei in 2 quadratische Gleichungen: Jede der beiden quadratischen Gleichungen besitzt ersichtlich nur ein mittleres Glied, d. h. ihre Wurzeln sind λ = 0, ∞. Also fallen in der Tat die vier Schnittpunkte der C, (13) mit der Geraden P1P2 zu je zweien in die Punkte P1, P; mit andern Worten, die C2 geht durch P1, P2, P3. 4 1 Andererseits schneide man die C, mit der unendlich fernen Geraden. Zu diesem Zwecke mache man die Koordinaten x, y, mit einer Größe z homogen, dann nimmt die Gleichung (13) die Gestalt an: (13′) ƒ1⁄23√(X ̧ − ∞ ̧2 ̧)2 + (Y1 — Y11)2 + 13V (X4 — XgZ ̧)2 + (Y1 — Y2≈1)2 wo die Vorzeichen der Quadratwurzeln unbestimmt zu lassen sind. Setzt man nunmehr z1 = 0, so ergibt die rational gemachte Gleichung (13'), bis auf einen konstanten Faktor: (36) 2 (xå + yi)2 = 0, d. h. die C ist ebenfalls ein Kreis. Da letzterer aber, wie soeben nachgewiesen, durch die Punkte P1, P2, P3 geht, muß er mit dem Ausgangskreise K zusammenfallen. Bemerkung. Es bedarf wohl kaum der Hervorhebung, daß der letzte Beweis, wenn man ihn rein formal führen will, kürzer gefaßt werden kann. Denn die Gleichung (13) läßt augenblicklich erkennen, daß nach ihrer Rationalmachung das Aggregat der Glieder höchster Dimension in x, y, der Ausdruck (x + y) ist. Demnach ist x + y das Aggregat der Glieder höchster Dimension in C, also ist die C2 ein Kreis. 2 Der Grundgedanke eines dritten Beweises für die Umkehrung des Ptolemäischen Satzes (sowie des direkten Satzes) tritt deutlicher bei projektiver Verallgemeinerung hervor, bei der der Kreis als ein Kegelschnitt durch die beiden imaginären „Kreispunkte": |