Bei der numerischen Berechnung der Brennpunkte des gegebenen Kegelschnitts hat man, da R als die Summe zweier Quadrate die a reell vorausgesetzt stets positiv und größer ist, als der absolute

Wert von (α11

agg), der Größe VR das Vorzeichen der Determinante D zu geben, damit das Hauptradikal reell werde. Würde man VR mit dem entgegengesetzten Zeichen von D belasten, so ergäben sich dadurch die imaginären Brennpunkte des Kegelschnitts.

Nimmt man nun statt des einzelnen Kegelschnitts ein ganzes

Büschel:

so berechnen sich die Koordinaten der Brennpunkte des durch die gewählte Größe & charakterisierten Individuums im Büschel als Funktionen dieses Parameters.

-

An die Stelle der früheren Größen D, R, A1, A2, A33 und (α11 — α22) treten jetzt Funktionen von 2 und zwar werden im allgemeinsten Falle die Größen:

Im übrigen lassen sich durch Einführung geeigneter Grundkegelschnitte die obigen Funktionen des Parameters 2 sehr verschieden gestalten.

Beispiel 1: Nimmt man als ersten Grundkegelschnitt einen beliebigen des Büschels und als zweiten die darin im allgemeinen immer vorkommende gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten als Koordinatenachsen gewählt werden mögen, dann wird die Büschelgleichung:

Beispiel 2: Der Grad von D läßt sich gleichzeitig um 1 erniedrigen, wenn der Kegelschnitt (α11 x2+2α12xy +) = 0 in ein Geradenpaar degeneriert, in welchem Falle einer der Nullpunkte der Funktion D in das Unendliche verlegt erscheint. Dies ist der Grund für die Erniedrigung der Ordnung von D.

Bevor wir auf die Diskussion der Bpk. eines Kegelschnittbüschels näher eingehen, wollen wir der oben gewonnenen Darstellung durch Einführung eines neuen Parameters u eine andere Form erteilen, die uns die Bpk. als eine hyperelliptische Kurve vom Geschlechte Zwei erkennen läßt. Zu dem Ende nehmen wir als Grundkegelschnitte des Büschels zwei Geradenpaare (zerfallende Kegelschnitte), weil dann

Y

P

-X

Fig. 4.

die algebraischen Umformungen möglichst einfach erscheinen, ohne daß dadurch die Allgemeinheit unserer Betrachtungen beschränkt wird. Die Büschelgleichung laute (Fig. 4):

0 = α11x2 + 2α12 X Y + Aqу2 + 2α13x + 2α23Y + A33 + λ (y2 — x2x2). Dabei muß sein:

Die Unterdeterminanten dieser Determinante seien in der Folge mit A bezeichnet, dann wird die Büscheldeterminante

D

ik

Damit VR eine rationale Funktion eines neuen Parameters u werde, ist

Daraus ergeben sich aber die zur Berechnung von έ und ʼn notwendigen n Ausdrücke:

η

VR+ a − λo = a + u,

λρ

Substituiert man die so gefundenen Werte in die Gleichungen für und n, so erhält man:

=

2o (a + u) ▲1, + × √ 1 (u2 — R* ) [a,, (R* — u3) + 2ọc(a + u)] (a+u)

2g (a+u) Ass

-20 (au) A3 +2α12 × √(u2 — R*) [a,s (R* — u2) + 2ọc (a + u)] (a + u) 20 (a+u)* Ass

Wählt man drei homogene Koordinaten, so wird die analytische Darstellung unserer Bpk. durch folgende drei Gleichungen gegeben:

Die ersten Teile in jeder Relation werden augenscheinlich ganze Funktionen der Variablen u, wenn man an die Stelle der in den A¡ vorkommenden Größen 2 den oben angeführten Wert in der Variablen u setzt. Da die Funktion U von der Ordnung 5 in u ist, so ist die Bpk. unseres Büschels eine hyperelliptische Kurve vom Geschlechte 2.2)

§ 3. Diskussion der allgemeinen Kurvengestalt.

An der Hand der in den beiden ersten Paragraphen gewonnenen analytischen Kurvendarstellungen läßt sich nun die Gestalt der Bpk. eines Kegelschnittbüschels diskutieren.

2) Vergl. etwa: Vorlesungen über Geometrie von Alfred Clebsch. Bearb.

und herausgeg. von Dr. Ferdinand Lindemann. Bd. I, pag. 916 ff.

Dabei seien die Grundpunkte des vorgegebenen Büschels als reell angenommen, wobei wir jedoch ausdrücklich bemerken, daß namentlich die Darstellung in § 2 sich unmittelbar auch auf Kegelschnittbüschel mit einem oder auch zwei Paaren konjugiert imaginärer Grundpunkte ohne weiteres übertragen läßt.

A. Unendlich ferne Punkte der Bpk.

gewinnen wir offenbar in den beiden unendlich fernen Brennpunkten p und q der zwei in dem Büschel vorkommenden Parabeln, seien nun

diese reell oder imaginär. Die Achsen derselben werden die Asymptotenrichtungen der Bpk. Je nachdem die vier reellen Grundpunkte des Büschels ein allseitig konvexes Viereck bilden, oder ein solches mit einer einspringenden Ecke, werden die dem Büschel angehörigen Parabeln und damit die unendlich fernen Punkte der Bpk. samt ihren Asymptotenrichtungen reell oder imaginär. Das Gleiche ergibt sich übrigens auch aus der Forderung Ass = 0, für welche die zugehörigen Koordinatenwerte und in das Unendliche wachsen.

Um weitere unendlich ferne Punkte der Bpk. zu finden, führen wir in der Gleichung nach Möbius homogene Koordinaten ein, so daß die unendlich ferne Gerade G zur dritten Fundamentalgeraden des Koor

dinatensystems wird mit der Gleichung z = 0. D. h. wir setzen statt

Für

=

und V(

Q; = √(§ %; − {x;)2 + (n2; — Ey;)2.

0 folgt: ΣF;√ §2 + n2 = 0, woraus zu entnehmen ist: 220. D. h.: Die Bpk. enthält als unendlich ferne Punkte die unendlich fernen imaginären Kreispunkte J, und J, und zwar, wie sich durch Bildung der partiellen Differentialquotienten der Form nach den Variablen, und ergibt, als Doppelpunkte. Die Bpk. eines Kegelschnittbüschels ist also eine bizirkulare Kurve.

Die G schneidet somit unsere Ortskurve in 6 Punkten, von denen zwei einzelne p und q einfach zählen und reell oder imaginär sein können, während die anderen 4 Punkte zu je zweien mit den unendlich fernen imaginären Kreispunkten J, und J, zusammenfallen.

=

Allgemein ergibt sich, wie entweder die Rationalisierung der Form = 0, oder eine synthetische Betrachtung1) bequemer zeigt, als Brennpunktskurve eines Kegelschnittbüschels eine bizirkulare Kurve sechster Ordnung vom Geschlechte zwei: Als Kurve sechster Ordnung enthält (6 — 1) (62) die Ortskurve höchstens: 10 Doppelpunkte, und da sie, 2 wie bereits gezeigt, vom Geschlechte zwei ist, kann sie nur mehr (10-2)=8 Doppelpunkte besitzen, von denen zwei mit den unendlich fernen imaginären Kreispunkten J, und J, zusammenfallen. Es sind daher noch weitere sechs Doppelpunkte vorhanden, die bei vier getrennt liegenden, als reell vorausgesetzten Grundpunkten auch reell sind, wie nun gezeigt werden soll.

1) Salmon-Fiedler,,,Kegelschnitte". Bd. II, pag. 520, Aufg. 8. Ursprünglich zu finden bei H. Faure, Nouvelles Annales 1861, pag. 56.