Seite Wienecke, E., Geometrie für Volksschulen. Von E. Kullrich - Die Lösung geometrischer Konstruktionsaufgaben. Von E. Kullrich Wölffing, E., Mathematischer Bücherschatz. Von F. Müller . . 1. Aufgaben und Lehrsätze. Lösungen. A. Aufgaben und Lehrsätze. 98–103. Von O. Gutsche, E. Lampe, Kartographische Bemerkung über das Katenoid. Von G. Holzmüller Zur Geometrographie der Mascheronischen Kreisteilungen. Von R. Über die Darstellung der Zahlen einiger algebraischen Zahlkörper 4. Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen 181, 270, 322 19 Über die kritische Mathematik. Von G. Hessenberg Die Fouriersche Reihe und die angenäherte Darstellung periodischer Funktionen durch endliche trigonometrische Reihen. Von A. Kneser Die Kreiselwirkung der Räderpaare bei regelmäßiger Bewegung des Wagens Über konjugierte Parallelstrahlen eines polaren Feldes. Von R. Müller . . . 45 Die Neperschen Logarithmen sind mit den natürlichen im wesentlichen iden- Über den Ptolemäischen Satz. Von W. FR. MEYER in Königsberg i. P. Die natürliche Quelle des Ptolemäischen Kreissatzes entspringt meines Erachtens aus der wohlbekannten, unmittelbar ersichtlichen Identität1): (1) (λ1 — λ2) (λ3 — λ4) + (21 — λg) (λ4 − λ9) + (λ1 − λ4) (λ2 — λ3) = 0, wo 21, 22, 23, 24 vier beliebige Größen bedeuten. Auch die Umkehrung des Ptolemäischen Satzes wurzelt in der Identität (I); hält man drei Punkte fest und läßt den vierten unbestimmt, so gilt der Ptolemäische Satz nur, wenn der vierte Punkt auf dem durch die drei ersten gehenden Kreise liegt, und sonst für keinen reellen oder komplexen Punkt der Ebene. Beachtenswert dabei ist, daß der Kreis bei dieser Umkehrungsaufgabe als doppelt zählende Lösung auftritt. 1. Der direkte Ptolemäische Satz. Der Einfachheit wegen wähle man den Radius eines gegebenen Kreises K gleich der Längeneinheit, dann lautet die Mittelpunktsgleichung des Kreises in rechtwinkligen Koordinaten Den Winkel messe man, wie üblich, von der positiven Abszissenachse aus im entgegengesetzten Uhrzeigersinne. Es seien P1, P2, P3, P4 irgend vier Punkte des Kreises; die Bezeichnung ist dabei so gewählt, daß die Punkte P1, P2, P3, P im Sinne des Uhrzeigers aufeinanderfolgen mögen. Versteht man daher unter P1, P2, P3, 9, die vier gemäß (2) zugehörigen Azimute, so ist jeder Winkel - 9%, wo i <k und i, k = 1, 2, 3, 4, positiv und zwischen 1) Es sei hier nur daran erinnert, daß die Identität (I) als „Linienkoordinatenidentität“ die Liniengeometrie des Raumes beherrscht, daß sie der Theorie des Doppelverhältnisses zugrunde liegt (s. § 4), daß sie die drei Geradenpaare eines Kegelschnittbüschels miteinander verbindet u. a. m. Archiv der Mathematik und Physik. III. Reihe. VII. 1 0 und 4R enthalten, oder, was auf dasselbe hinauskommt, jeder halbe Winkel ዎ፡ 2 (i) positiv und zwischen 0 und 2R enthalten. Ver steht man unter s; den Sinus des Winkels so fällt somit jedes s für i<k positiv aus (also für i>k negativ). Andererseits bedeuter für ik die absolute Entfernung der Punkte P, P (also für ik diese Entfernung negativ genommen). Dann ist der Ptolemäische Satz für das Kreisviereck P1, P2, P3, P4 ausgedrückt durch: wo offenbar die Reihenfolge der vier Indizes jedesmal im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers vor sich geht. Nun ergibt sich auf Grund der Darstellung (2) für irgend eine der Größen rik: wo es nach obigen Festsetzungen gleichgültig ist, ob man i <k oder i>k wählt. (II') Mithin ist die Ptolemäische Formel (II) äquivalent mit der andern: $12 $34 +$13842 + $14823 = 0. Diese Formel ist aber leicht auf die Identität (I) zurückzuführen. Denn nach dem Additionstheoreme der Trigonometrie ist: 1) Diese Formel (II) werde im folgenden als „,Ptolemäische Formel" zitiert. dadurch geht aber (II), wenn man noch mit cos dividiert, über in: (8) (tg1 – tg :) (tg? – tg o4) + (tgi ዎ4 tg4) - tgs) (tg - tg :) 94 COS ዎ +(tgtg :) (tgtg)=0, oder aber, wenn man zur Abkürzung setzt: (9) genau in die Identität (I) 2. Die Umkehrung des Ptolemäischen Satzes. Man nehme jetzt drei der Punkte P., etwa P1, P2, P3, auf dem Kreise K (1) an, dagegen den vierten P, beliebig in der Ebene. Die Polarkoordinaten von P1, P2, P, sind dann dieselben wie in Nr. 1, dagegen lauten jetzt die des Punktes P1, wenn r den zugehörigen Radiusvektor bedeutet: (10) 3 Offenbar kann man sich auf den Fall beschränken, wo wie oben P1 P2 > 93 > P1, denn andernfalls hätte man nur die Bezeichnung zu modifizieren. (11) Dann wird nach (6): r12 2812, 132813, 723 = = 2 $23. Dagegen erhält man für die drei andern Strecken r (i = 1, 2, 3): Wir fragen nach dem Orte der Punkte P1, für die die Ptolemäische Formel (II) erfüllt ist. Diese Aufgabe möge zuvörderst durch elementare Rechnung erledigt werden. Man mache zunächst die Formel (II) rational: (13) (~1234+1312 +14~23) (~12~34 +~1342-1423) (1234—~13742 +~14~23) · (-1234 +1342 +1423) = 0, |