3. Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. [Einsendungen für den Sprechsaal erbittet Franz Meyer, Königsberg i. Pr., Mitteltragheim 51.] Zu IV, 5. Der Bericht, den Herr Henneberg in seinem Encyklopädie-Artikel IV, 5 „Die graphische Statik der starren Körper“ in Nr. 12, S. 362 ff. über die allgemeine Theorie der reziproken Figuren gegeben hat, bedarf insofern einer Ergänzung, als sich Herr Henneberg im wesentlichen auf die Wiedergabe des Maxwell-Cremona schen Satzes beschränkt, wonach zwei reziproke Figuren stets als Parallelprojektionen zweier Polyeder betrachtet werden können, die in Bezug auf ein Nullsystem polarreziprok sind. Ist nun auch durch diesen Satz ein Mittel gegeben, um alle möglichen Paare reziproker Figuren herzustellen, so versagt er doch die Antwort auf die Frage, die von jeher die Geometer interessiert hat: Wie muß eine ebene Figur, die aus k Punkten und s Verbindungsstrecken derselben besteht, oder ein Fachwerk mit k Knotenpunkten und s Stäben beschaffen sein, damit es durch Hinzufügung weiterer Punkte und Strecken zu einer Figur ergänzt werden kann, der eine reziproke, d. h. eine solche Figur zugehört, daß jeder Geraden der ersten Fiyur eine ihr parallele in der zweiten Figur entspricht und den Geraden durch einen Punkt die Seiten eines geschlossenen Polygons? Beschränkt man sich auf den hauptsächlich interessanten Fall, daß das Fachwerk ein einfaches oder s 2k - 3 ist, so hat diese Frage eine vollständige Beantwortung gefunden in den Paragraphen 4 und 5 der Abhandlung „Über ebene einfache Fachwerke", die der Unterzeichnete im 48. Bande der Mathem. Annalen (1896) veröffentlicht hat. Es wurde dort zuerst als notwendige Bedingung für die Lösbarkeit unserer Aufgabe erkannt, daß für das Fachwerk eine vollständige und zusammenhängende Zerlegung in k-1 einfache Polygone möglich sei; d. h. es müssen erstens die Stäbe des Fachwerks so als die Seiten von k 1 einfachen Polygonen angeordnet werden können, daß jeder Stab die gemeinsame Seite von zwei und nur zwei Polygonen ist, und man muß zweitens dadurch, daß man von einem Polygone ausgehend an dieses ein zweites ansetzt, das mit dem ersten eine oder mehrere Seiten gemein hat, an dieses ebenso ein drittes u. s. f., schließlich zu allen Polygonen der Zerlegung kommen können. Diese Bedingung wurde aber auch als hinreichend erkannt, d. h. es wurde der Satz bewiesen, daß ein Fachwerk, für das eine solche Zerlegung existiert, durch die Angriffslinien von miteinander im Gleichgewicht stehenden und in den Ecken irgend eines der Polygone angreifenden Kräften und durch die Seiten eines zugehörigen geschlossenen Seilpolygons so erweitert werden kann, daß der erweiterten Figur eine reziproke zugehört. Ist daher das Fachwerk so beschaffen, daß sich niemals zwei Stäbe überkreuzen, so ist leicht zu sehen, daß die hierdurch gegebene schlichte .Zerlegung des von dem Fachwerke überdeckten Teiles der Ebene in k - 2 nebeneinander liegende Polygone unter Hinzufügung des Randpolygons die geforderten Bedingungen erfüllt. So oft es also gelingt, für ein gegebenes Fachwerk ein entsprechendes von derselben Gliederung, d. h. ein solches, dessen entsprechende Knotenpunkte durch die entsprechenden Stäbe verbunden Archiv der Mathematik und Physik. III. Reihe. VII. 22 sind, so hinzuzeichnen, daß sich in dem neuen Fachwerke niemals zwei Stäbe überkreuzen, so oft erhält man eine Zerlegung des Fachwerkes von der gesuchten Art. Dieser Satz gewinnt aber dadurch eine besondere Bedeutung, daß er sich umkehren läßt und zwar in der folgenden allgemeineren Form: Gelingt es für ein Fachwerk mit k Knotenpunkten und s Stäben eine vollständige und zusammenhängende Zerlegung in s-k+ 2 einfache Polygone zu finden, so kann man auf mehrfache Weise ein dem gegebenen Fachwerke gleich gegliedertes konstruieren, von dem sich niemals zwei Stäbe überschneiden; die schlichte Zerlegung des von diesem Fachwerke überdeckten Teiles der Ebene entspricht dann unter Hinzunahme des Randpolygons der Zerlegung des gegebenen Fachwerks. Dieser Satz gibt einerseits eine vollständige Antwort auf die eingangs gestellte Frage und liefert andrerseits eine übersichtliche Methode, um zu entscheiden, ob zu einer gegebenen Figur nach gehöriger Erweiterung derselben eine reziproke gefunden werden kann. Die nicht immer ganz einfachen Beweise können a. a. O. nachgelesen werden. Karlsruhe, im Februar 1904. Zu V1. F. SCHUR. In seiner Darstellung der Allgemeinen Thermodynamik1) behandelt Herr G. H. Bryan auch die Clausiussche Ungleichung bei irreversibeln Vorgängen, nachdem er zuvor (p. 94) das Integral () dQ T O für umkehrbare Kreis prozesse abgeleitet. Für seinen allgemeinen Beweis benutzt er dabei eine wohl hauptsächlich von Tait herrührende Betrachtungsweise. Diese führt für irreversible Kreise ebenfalls zur Clausius schen Ungleichung), wenn man darin für T die Temperatur der Wärmereservoire setzt. Dasselbe ist bekanntlich bei der Neumann-Thomsonschen Demonstration der Fall3), Herr Bryan stellt (p. 97 und 98) Betrachtungen an, bei denen T die Temperatur eines Elementes des Systems bedeutet, das den Kreisprozeß beschreibt, und welche ebenfalls zur Clausiusschen Ungleichung führen. Diese erscheinen dem Verf. aber nicht ganz unbedenklich. Es ist doch wohl stets daran festzuhalten, was auch C. Neumann ausdrücklich betont1), daß dQ eine Größe als ein Element einer Entropieänderung nur dann streng angesehen werden kann, wenn sie einem umkehrbaren (Elementar-)Vorgange entspricht. Wärmezufuhr durch Leitung und Strahlung kann wohl, wie besonders Herr Voigt5) hervorhebt, mit großer Annäherung so behandelt T 1) Encyklopädie der Mathem. Wiss. V1, 95-100. 2) Tait, On Heat, London 1895 (Macmillan) p. 345–346. 3) C. Neumann, Leipz. Ber. I 1891 p. 89; Voigt, Thermodynamik I p. 351 und p. 281 1903 (Göschen). 4) C. Neumann 1. c. p. 96 u. p. 102. 5) Voigt 1. c. p. 340. Vgl. Verf. Bemerkungen Wied. Ann. Bd. 67 p. 450 Anm. 1899 u. Drudes Ann. Bd. 2 p. 750-753, 1900. An letzterem Orte p. 752 ist angenommen, daß kein Energieaustausch (auch nicht von Bewegungsenergie) zwischen den Körpern m, und m, und der Umgebung statthabe, was allerdings praktisch schwer zu realisieren. Im allgemeinen darf man eine solche Annahme natürlich nicht machen. werden, als liege ein reversibler Vorgang vor. Ganz streng ist das jedenfalls nicht und für allgemeine Beweise erscheint solches Verfahren wohl etwas bedenklich. Man sieht daher denn auch bei den p. 97 gegebenen Ausdrücken nicht recht ein, warum dort O sein muß, nachdem dQ rechts Größend stehen, die doch jedenfalls nicht alle Entropieänderungen dQ bedeuten. Bezieht sich aber dann ist aber auch d Qa a auf einen reversibeln Cyklus, =0, wo Q die von außen aufgenommene Wärme bedeutet.1) Die Betrachtungen (p. 98), zu denen wiederum die Taitsche Methode verwendet wird, sind auch nur streng, wenn der nicht umkehrbare Prozeß adiabatisch verläuft. Der zum Cyklus ergänzende Vorgang ist dann reversibel, nur bei ihm findet Wärmezufuhr von außen statt. Diese kann, weil unendlich langsam verlaufend, in der Tat durch einen Körper, der einen Carnotschen Kreis zwischen einem Hilfswärmereservoir m。 und den Teilen des arbeitenden Systems beschreibt, geschehen. Im allgemeinen, wenn es sich insbesondere um einen stürmisch verlaufenden Prozeß handelt, bei dem große Temperaturdifferenzen mit den Wärmequellen entstehen und die Geschwindigkeit der Wärmezufuhr (wenn man sich kurz so ausdrücken darf) eine erhebliche wird, geht solches aber nicht mehr an. Es dürfte daher der von Herrn Bryan gegebene Beweis für die Clau siussche Ungleichung nach des Verf. Ansicht der nötigen Strenge entbehren. wenigstens wenn er allgemeine Geltung bezitzen soll. Es erscheint aber wohl dringend wünschenswert, daß über die Bedeutung und Begründung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik endlich Übereinstimmung seitens. der kompetenten Forscher erzielt werde. Nur in diesem Sinne und mit der Bitte um entsprechende Äußerungen über das vorliegende Thema, erlaubt sich Verf., diese kritischen Bemerkungen zu veröffentlichen. Schließlich möchte Verf. noch die Frage aufwerfen, warum man die Clausiussche allgemeine Beweisführung, die durchaus nicht verwickelter als die Thomson-Neumannsche erscheint, so wenig bei den bezüglichen Demonstrationen beachtet.2) So wie sie Clausius in seiner Mechanischen Wärmetheorie I p. 107-110 und p. 223, 1876 gibt, erscheint sie allerdings umständlicher als unumgänglich notwendig. Hat man aber einmal den einfachen, eventuell die einfacher zusammengesetzten (1. c. p. 97-100) Carnotschen Prozesse behandelt, und das geschieht ja wohl bei allen Darstellungen der Thermodynamik, so ergibt sich ganz direkt die Ungleichung (resp. Gleichung) von Clausius, indem man diejenigen Größen herausgesucht denkt, denen dQ, gegenübersteht, und dann nach Clausius 1) Siehe z. B. C. Neumann 1. c. pg. 94. K. v. WESENDONCK. 2) Verf. Standpunkt ist dargelegt: Wied. Ann. 67 444 451, 1899, 67 817, 1899; Drudes Ann. 2 746-74%, 1900, 7 576-580, 1902, 9 1133 1137, 1802, Phys. Zeitschr. 4 589-592, 1903. 4. Bei der Redaktion eingegangene Bücher. BUCHERER, A. H., Elemente der Vektor-Analysis. Mit Beispielen aus der theoretischen Physik. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 91 S. M. 18. CHWOLSON, O. D., Lehrbuch der Physik. Zweiter Band. Lehre vom Schall (Akustik). M. 18. FORT, O. und SCHLÖMILCH, O., Lehrbuch der analytischen Geometrie. Erster Teil. Analytische Geometrie der Ebene. Siebente Auflage von R. Heger. Leipzig 1904, B. G. Teubner. 268 S. GEISSLER, K., Anschauliche Grundlagen der mathematischen Erdkunde. 199 S. Leipzig 1904, B. G. Teubner. GRAY, A., Lehrbuch der Physik. Deutsche Ausgabe von F. Auerbach. Erster Band: Allgemeine und spezielle Mechanik. Braunschweig 1904, Vieweg & S. XXIV M. 20. HAMEL, G., Die Lagrange-Eulerschen Gleichungen der Mechanik. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 57 S. u. 837. HOCHHEIM, A., Aufgaben aus der analytischen Geometrie der Ebene. gerade Linie, der Punkt, der Kreis. A. Aufgaben. Dritte Auflage. B. G. Teubner. Heft I: Die Leipzig 1904, JACOBI, M., Die Mathematischen Wissenschaften nach dem 30 jährigen Kriege. Fr. 8. LOPPÉ, F., Essais industriels des machines électriques et des groupes électrogènes. POINCARE, HENRI, Membre de l'institut. Wissenschaft und Hypothese. Autorisierte deutsche Ausgabe mit erläuternden Anmerkungen von F. und L. Lindemann. Leipzig 1904, B. G. Teubner. XVI u. 342 S. Ratschläge für die Kandidaten des höheren Lehramtes in Mathematik und Physik an der Universität Jena. 18 S. REICHEL, O., Vorstufen der höheren Analysis und analytischen Geometrie. Leipzig 1904, B. G. Teubner. 111 S. SALKOWSKI, E., Zur Bewegung eines Punktes auf Rotationsflächen. Inaug. Diss. Jena 1904. 43 S. SELIWANOFF, D., Lehrbuch der Differenzenrechnung. Leipzig 1904, B. G. Teubner. 92 S. SERRET, J. A., Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Mit Genehmigung des Verfassers deutsch bearbeitet von Axel Harnack. Herausgegeben von G. Bohlmann u. E. Zermelo. Dritter Band: Differentialgleichungen und Variationsrechnung. Leipzig 1904, B. G. Teubner. 479 S. STEPHAN, P., Die technische Mechanik. I. Mechanik starrer Körper. Leipzig 1904, B. G. Teubner. 344 S. Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Herausgegeben vom Vorstande der Gesellschaft. 19. Sitzung am 28. Oktober 1903. Vorsitz: Herr Kneser. Anwesend: 40 Herren. Nachdem Herr Färber den Kassenbericht erstattet hat, wird der bisherige Vorstand durch Akklamation wieder gewählt, also Herr Kneser zum Vorsitzenden, Herr Jahnke zum stellvertretenden Vorsitzenden und Schriftführer und Herr Färber zum Kassenwart. Wissenschaftliche Mitteilungen: Herr G. Hauck: Über angewandte Mathematik. An der Diskussion beteiligen sich die Herren G. Hauck, Hessenberg, Hupe, Jahnke, Kneser, Reißner, Rotth. Über angewandte Mathematik. Von G. Hauck. Durch die neue Prüfungsordnung von 1898, in welcher eine Lehrbefähigung in angewandter Mathematik vorgesehen ist, wurde ein erhöhtes Interesse für die angewandte Mathematik geweckt. Es herrscht aber zur Zeit noch eine große Unklarheit und Verwirrung der Ansichten über das Wesen dieses Zweiges der Wissenschaft. Nicht einmal über die Abgrenzung des Begriffes ,,angewandte Mathematik“ besteht Übereinstimmung. Z. B. ist in den Versammlungen Deutscher Naturforscher und Ärzte eine besondere Sektion für angewandte Mathematik eingerichtet, die lediglich die Ingenieurwissenschaften in sich begreift. Dagegen sind die Fächer der Astronomie und Geodäsie der Sektion für reine Mathematik zugeteilt, während sie von den erwähnten Prüfungsvorschriften der angewandten Mathematik zugerechnet werden. Aber sehen wir auch von dieser Unbestimmtheit ganz ab und beschränken uns auf diejenigen Disziplinen, die vom Standpunkt des Mathematikers gewöhnlich unter dem Begriff,,angewandte Mathematik" verstanden werden, so besteht unter den Mathematikern selbst eine so auffallende Verschiedenheit der Ansichten über Wesen und Wert der angewandten Sitzungsberichte d. Berl. Math. Ges. III. 1 |