definiert sei, so daß sie im ganzen dieselben Eigenschaften besitzt, die wir für f(x) gefordert haben, und demnach wie f(x) nach Nr. 2 in die Fouriersche Reihe entwickelt werden kann. Da nun diese auf der Strecke von

x = bis x = dieselben Werte ergibt, gleichviel ob man sie mit f(x) oder fo(x) bildet; da ferner die Größen a und b❞ bei beiden Funktionen dieselben sind, so folgt, daß auch die Reihe R'(x) auf der Strecke

denselben Wert hat, gleichviel ob unter dem Integralzeichen f(a) oder fo(a) steht, vorausgesetzt daß man bei einer dieser Annahmen eine konvergente Reihe R'(x) erhält. Hierüber gewinnt man leicht Sicherheit, wenn fo (x) nimmt; die Größen a, und b, sind dann auszurechnen, und man findet unmittelbar

man

Summiert man über v und benutzt die Formeln (A), so erkennt man, daß die Reihe R'(x) konvergiert, und erhält zunächst bei der Annahme x ૐ die Gleichung

Kombiniert man diese Resultate mit den in Nr. 3 erhaltenen, so sieht man, daß auch die mit der Funktion

F(x) = f(x) + C

gebildete Reihe R'(x) den Wert Null oder F(§) hat, je nachdem die eine oder andere der Beziehungen

π > x> §, x=

angenommen wird. Die Funktion F(x) ist aber die allgemeinste, für welche die in Nr. 2 formulierten Voraussetzungen gelten, da man nur für C den

Wert

F(-) zu nehmen braucht, um auf die soeben betrachtete Funktion f(x), die an der Stelle x =-л verschwindet, zurückzukommen; die den Fallen und entsprechenden Gleichungen

x > x

=

R′(x) = 0, R′(§) = }ƒ(§)

sind somit für eine beliebige, den Forderungen der Nr. 2 unterworfene Funktion f(x) bewiesen. Beide zusammen ergeben sofort, daß man in jeder von ihnen die Koeffizienten a, und b', durch die Integrale

f(a)

ƒt(a) cos vada, Šta) sin vad
Si

ersetzen kann, in denen n irgend ein Wert zwischen

л und ist; sodann

übersieht man leicht, daß die Größen und ihre Rollen vertauschen dürfen. Daraus folgt weiter, daß, wenn die Funktion f(x) an einer endlichen Anzahl von Stellen der Strecke von лund +лunstetig ist, zwischen zweien von diesen aber stetige Ableitungen erster und zweiter Ordnung besitzt, die Fouriersche Reihe überall die Größe [f(x+0) + f(x0)] darstellt; man braucht nur unter § und n irgend zwei benachbarte Unstetigkeitsstellen zu verstehen und die Resultate zu addieren, welche die soeben erhaltenen Gleichungen darbieten.

η

5. Es bleibt noch übrig, einen Blick auf den Beweis der Formeln (A) zu werfen.

Die erste von ihnen leitet man leicht aus der bekannten elementaren Formel

In diesem Ausdruck verschwindet das zweite Integral, wie eine partielle Integration zeigt, wenn n über alle Grenzen wächst und rx zwischen O und 2 liegt; das erste Integral geht dann in das bekannte

über, und damit ist unter den in Nr. 3 ausgesprochenen Voraussetzungen die erste Formel (A) bewiesen, aus der die zweite durch eine einfache Substitution abgeleitet werden kann; zugleich sieht man, daß, sobald z oberhalb einer positiven Grenze verbleibt, die Reihen auf der rechten Seite beider Formeln gleichmäßig gegen ihre Summe konvergieren. Hieraus ergibt sich weiter die Formel

so lange x und zo zwischen O und 2 liegen; diese Reihe ist aber, wie die zweite Form zeigt, bei beliebigen Werten von x und 。 gleichmäßig konvergent, also eine stetige Funktion von xo, die Formel bleibt daher auch bei der Annahme x O gültig, womit die dritte Gleichung (A) ebenfalls

erwiesen ist.

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

Herausgegeben vom Vorstande der Gesellschaft.

22. Sitzung am 20. Januar 1904.

Vorsitz: Herr Kneser.

Anwesend: 36 Herren.

Wissenschaftliche Mitteilungen:

Herr R. Müller: Über konjugierte Parallelstrahlen im polaren Felde (s. u.).

Herr Koppe: Die wesentliche Identität der Neperschen und der natürlichen Logarithmen (s. u.).

Herr Jahnke: Bemerkung über den Ptolemäischen Satz.

An der Diskussion beteiligen sich die Herren Dziobek, Jahnke, R. Müller, Steinitz, Wallenberg, Zühlke.

23. Sitzung am 24. Februar 1904.

Vorsitz: Herr Kneser.

Anwesend: 31 Herren.

Wissenschaftliche Mitteilungen:

Herr Reißner: Über die Stabilität der Biegung (s. u.).

Herr Rothe: Über die geodätische Abbildung krummer Flächen.

An der Diskussion beteiligen sich die Herren F. Kötter, Reißner.
Geschäftliche Mitteilungen:

Herr Lampe regt eine Diskussion über die Frage an, ob und wie die Gesellschaft das von ihm herausgegebene Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik unterstützen könne.

Herr F. Kötter verliest folgende Erklärung:

Zu den Bemerkungen des Herrn Cranz über meinen Vortrag vom 30. Juni 1903 möchte ich, ohne jetzt schon auf ihren sachlichen Inhalt eingehen zu wollen, folgende Erklärung abgeben:

Die persönlichen Bemerkungen des Herrn Cranz, seine Auslassungen über mein Verhalten als Lehrer und Gelehrter, muß ich als eine Folge einiger in meinem Vortrage enthaltener nicht sachlicher Bemerkungen ansehen und aus diesem Grunde, obgleich ich sie nicht anerkenne, unerwidert lassen, damit der wohl nicht nur für mich allein unerquickliche Handel sein Ende erreiche. Der Mathematischen Gesellschaft gegenüber fühle ich mich zu dem Ausdruck des Bedauerns verpflichtet, durch mein Verhalten es veranlaßt zu haben, daß in ihren Sitzungsberichten auch andere als rein sachliche Äußerungen einen Platz erhielten.

Sitzungsberichte d. Berl. Math. Ges. III.

4

Die Kreiselwirkung der Räderpaare bei regelmäßiger Bewegung des Wagens in kreisförmigen Bahnen.

Von Fritz Kötter.

Mehr und mehr gewinnt das Kreiselproblem, dessen Bedeutung für die Beantwortung physikalischer und astronomischer Fragen längst außer allem Zweifel steht, an Bedeutung für die technische Mechanik. Die Stabilitätsuntersuchung gebogener Stäbe gegenüber einer Torsionsgefahr macht die Heranziehung der Gleichungen für doppelt gekrümmte Stäbe notwendig, deren Übereinstimmung mit den Gleichungen der Kreiselbewegung bekanntlich von Kirchhoff entdeckt ist. Und je mehr man die Geschwindigkeit der Eisenbahnzüge zu steigern sucht, desto dringender wird auch das Bedürfnis, sich mit dem etwaigen Einfluß der Kreiselwirkung rollender Räderpaare abzufinden. So stellt sich denn die Berücksichtigung des Kreiselproblems als eine unabweisbare Forderung in dem Unterricht des jungen Ingenieurs heraus, und dem Lehrer der Mechanik erwächst die Pflicht, auf einfache Beispiele zu sinnen, an denen die Verwendung der in Betracht kommenden Begriffe sowie die Bedeutung des Problems für die technische Praxis klar zu Tage tritt. Ein solches einfaches Beispiel bietet die Kreiselwirkung der Räderpaare bei der Bewegung des Wagens in kreisförmigen Bahnen dar.

Für jede Aufgabe aus der Kreiseltheorie bildet meines Erachtens der von Klein und Sommerfeld mit Recht in den Vordergrund geschobene Impulsbegriff den besten Angriffspunkt. Zunächst hat derselbe den ganz hervorragenden Vorteil, daß er die Kreiselbewegung zu einem Analogon der viel einfacheren Bewegung des materiellen Punktes gestaltet. Stellen wir, um bei der einfacheren Aufgabe anzufangen, für die Bewegung eines Massenpunktes P den Ausdruck mv (Masse mal Geschwindigkeit) durch eine von einem festen Punkt O in Richtung der Geschwindigkeit gezogene Strecke OJ dar, so wird die Geschwindigkeit des Punktes J dieselbe Richtung haben wie die Beschleunigung p des Punktes P, und die Größe der Geschwindigkeit wird für den Punkt J durch mp dargestellt. Nennen wir nun den Punkt J Impulspunkt, so gestaltet sich das Bewegungsgesetz für P zu dem Satz, daß die Geschwindigkeit des Impulspunktes J nach Größe und Richtung gleich der auf P wirkenden Kraft ist.

Für die Rotation eines starren Körpers um einen festen Punkt wird der Impulspunkt am besten definiert durch seine Lage zu den drei Hauptträgheitsachsen des Körpers. Nennen wir A, (i = 1, 2, 3) die Hauptträgheitsmomente des Körpers und ∞, (i = 1, 2, 3) die Komponenten seiner Umdrehungsgeschwindigkeit, so sind die drei Komponenten des Impulses oder die Koordinaten des Impulspunktes J definiert durch die Gleichungen

Und das Prinzip, welches die Kreiseltheorie beherrscht, lautet: Die Geschwindigkeit des Punktes J fällt der Richtung nach mit der Achse des auf den Körper wirkenden Drehmoments zusammen und ist der Größe nach diesem Momente gleich. Oder kürzer noch, wenn wir das Moment durch eine vom Drehpunkt aus in Richtung der Achse laufende Strecke darstellen: