dar. Wir wollen nun annehmen, daß alle Rotationskörper auf zwei horizontalen kreisförmigen Schienen ruhen, deren Mittelpunkte auf derselben Vertikalen liegen, und daß die Bewegung der Rotationskörper ein Rollen auf jenen beiden Strecken ist. Die Berührungspunkte eines der Rotationskörper mit den beiden Schienen müssen dann auf einer erzeugenden Geraden des durch beide Kreise bestimmten Kegels sein, und die Achse jedes der Rotationskörper muß durch den Scheitel dieses Kegels hindurchgehen. Wie im übrigen die Rotationskörper gestaltet sind, ist für die Behandlung des mechanischen Problems zwar gleichgültig; wir wollen uns aber vorstellen, daß er die Gestalt zweier durch eine Achse verbundener Räder habe, deren Größenverhältnis vermittels der soeben gegebenen Beschreibung geregelt ist. Der Kegel, welcher durch die beiden Räder bestimmt ist und die Achse des Räderpaares zur Achse hat, rollt bei der betrachteten Bewegung auf dem Kegel mit vertikaler Achse, welcher durch die beiden kreisförmigen Strecken bestimmt ist. Jeder zur Achse senkrechte Kreis auf dem beweglichen Kegel wickelt sich dabei auf einem horizontalen Kreise. Kennen wir die Radien zweier solcher zusammengehörigen Kreise, so kennen wir auch das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten ∞ und w'. Wir wollen nun als festen Kreis denjenigen mit dem Radius S nehmen, über welchem offenbar genau senkrecht die Bahn des Schwerpunktes liegt. Den Radius des rollenden Kreises, welcher sich auf den eben bezeichneten Kreise abrollt, wollen wir nennen. Dann ist offenbar wo v die Geschwindigkeit des Wagens bezeichnet. Dabei ist aber zu bedenken, daß, wenn w' positiv ist, notwendig o negativ zu nehmen ist und umgekehrt. So erhalten wir für ∞ den Wert Setzen wir nun diesen Wert in die Ausdrücke für die Komponenten des Momentes der Kreiselwirkung ein, so gewinnen wir folgende Formeln 1 20° 1 Wir wollen nun in bezug auf unseren Wagen und sein Geleis einige Voraussetzungen machen, welche in dem praktischen Falle der Eisenbahn wohl stets erfüllt sind. Erstlich soll die Erhöhung der äußeren Schiene im Verhältnis zur Breite des Geleises höchstens gleich sein; ferner soll vorausgesetzt werden, daß die Dimensionen des Wagens im Verhältnis zum Kurvenradius (s) klein sind, höchstens etwa Dann sind die Winkel a sowohl für den Schienenkegel als auch für die Rotationsachsen der Räderpaare so klein, daß wir cos a in erster Näherung gleich 1 setzen dürfen. In M tritt sin ẞ auf, und man sieht, daß an und für sich die Bestandteile von M im Vergleich zu denen von M klein sind. Dazu kommt noch, daß ein Teil der Räder offenbar vor, ein entsprechender hinter dem Schwerpunkt liegen muß; die einzelnen Glieder erhalten also entgegengesetztes Vorzeichen, und mit um so größerem Recht wird man M gegen M vernachlässigen dürfen. In M wird man ferner für cos a und cos ẞ die Werte 1 setzen und erhält dann als Moment der Kreiselwirkung den Ausdruck h b Das Moment, welches die Umdrehungswirkung darstellt, wollen wir jetzt noch dadurch umgestalten, daß wir für tang a das Verhältnis aus Gelois erhöhung durch Schienenentfernung setzen, dabei berücksichtigend, daß cos a = 1 werden darf. Ferner soll der Trägheitsradius für die durch den Schwerpunkt gelegte Höhenlinie jetzt J (früher ig) und die entsprechende Größe für die Breitenrichtung J, genannt werden. Dann ist Es fragt sich nun, in wieweit die vorliegenden Ergebnisse muf die Wirklichkeit anwendbar sind. Wollte man mit einem Wagen stele nur kin und dieselbe kreisförmige Bahn durchfahren, so würde man ihm vielleicht genau die Eigenschaften geben, welche wir von unserem Fahrzeuge voraus gesetzt haben. Bei den wirklich benutzten Wagen aber whneiden sich die verschiedenen Achsen nicht in dem Scheitel des Bahnkegels, wodern sind, soweit sie mit dem Wagen fest verbunden sind, paranei, und die Besten der beiden Räder eines Paares liegen nicht auf einer vom Puntal dee Babzkegels ausgebenden Kegeltheie, wandern auf dem Mariki mwen Kinn sylinders, dessen Achse mit der Acke der beiden Kate wamments A Aber bei den tataklites Grikenverlitolo, da m Énd erscheinen de Atweichungen da formulere og vuusien Vusa The der Wirkusken gering going, in se für jean eramanes, Yorwaa werigens aus Antierung at de Wynn wen Beide Momente wirken dahin, die innere Schiene zu entlasten und dafür die Belastung der äußeren Schiene zu vermehren. Man kann deshalb die Wirkung der Umdrehung und die Kreiselwirkung der Räder dadurch darstellen, daß man den Angriffspunkt der Zentrifugalkraft, welcher an und für sich mit dem Schwerpunkt zusammenfiele, erhöht und zwar beiden Strecken um die Sind die Räderpaare einander gleich, so kann man offenbar statt dieser Formel schreiben wo die Masse der sämtlichen Räder mit ihren Achsen bezeichnet. Um uns ein Urteil über die Größenordnung der Kreiselwirkung zu bilden, wollen wir n für Verhältnisse berechnen, welche ungefähr denen eines zweiachsigen Güterwagens entsprechen. Wir setzen P= 10000 kg 2000 kg, r = 0,5TM und ¿2 = 11⁄2 r2. Es ergibt sich Q = Für einen beladenen Wagen wird, da das Gesamtgewicht P im Nenner steht, noch kleiner. Nehmen wir z. B. an, daß die auf 15 t festgesetzte Ladefähigkeit völlig ausgenutzt werde, so wird P nicht 10000 kg, sondern 25 000 kg betragen, und es wird = Für konnten leider keine genauen Zahlenwerte berechnet werden, da die Trägheitsmomente des Wagens sich nicht ermitteln ließen. Nimmt man aber an, daß die Breite des Wagens B 2,85 m, die Höhe H= 3,5 m beträgt, und daß der Schwerpunkt etwa in der Höhe H' = 1,4 liegt, daß ferner, was die Bahn betrifft, S mindestens 200m und höchstens kann man aus der leicht zu erweisenden Formel h b 0,1, so Man erkennt hieraus, daß die von der Drehung des Wagens herrührende Wirkung vergleichsweise gering ist gegen die Kreiselwirkung der Räder. So gelangen wir denn zu folgendem Resultat. Bei gleichförmiger Bewegung des Wagens in kreisförmigen Bahnen ist die Kreiselwirkung der Räderpaare verhältnismäßig gering im Vergleich zur Zentrifugalkraft. Will man sie trotz ihrer Geringfügigkeit berücksichtigen, so kann man das in der Weise tun, daß man den Angriffspunkt der Zentrifugalkraft vom Schwerpunkt um die Strecke in die Höhe rückt. Hierin bedeutet q das Gewicht eines Radsatzes, r den Radius des zugehörigen Räderpaares, i den Trägheitsradius des Satzes und endlich P das Gewicht des ganzen Wagens. Sind die Radsätze gleichartig, so können außer P auch i und r aus der über alle Radsätze zu erstreckenden Summe genommen werden, und die Formel lautet einfacher wo P das Gesamtgewicht des Wagens und Q dasjenige des rollenden Teiles ist. Über konjugierte Parallelstrahlen eines polaren Feldes. Von Richard Müller. Ein Kegelschnitt weist jedem Punkte seiner Ebene als Pol eine Gerade seiner Ebene als Polare zu und umgekehrt. In dem polaren Felde heißen 2 Geraden konjugiert, wenn die eine und folglich jede durch den Pol der anderen geht. Einer bestimmten Geraden g des Feldes sind daher o1 Geraden konjugiert, nämlich alle diejenigen Strahlen, deren Träger der Pol G von g ist. Unter den Strahlen dieses Büschels verdienen aber offenbar zwei eine besondere Beachtung, nämlich derjenige, welcher zu g parallel und derjenige, welcher zu g normal ist. Während nun die Theorie der zu einander senkrechten konjugierten Strahlen wegen ihrer nahen Beziehung zu den Brennpunkten des Feldes und zu den konfokalen Kegelschnitten wohl bekannt ist, wurde (soweit ich die Literatur übersehe) den konjugierten Parallelstrahlen bisher wenig Beachtung zu teil. Im folgenden hoffe ich zu zeigen, daß auch auf die bisher bekannten Sätze über die konjugierten Normalstrahlen ein neues Licht fällt durch die gleichzeitige Betrachtung der konjugierten Parallelstrahlen; außerdem haben die in den letzten Jahren veröffentlichten Arbeiten des Herrn Stanislaus Jolles1) den innigen Zusammenhang dieser konjugierten Parallelstrahlen mit der Theorie der Trägheitsellipsen dargetan, und ich selbst behalte mir vor, demnächst die Anwendung der gewonnenen Resultate auf die geometrische Mechanik mitzuteilen. I. In einer Ebene & betrachten wir ein polares Feld unabhängig von der Natur seiner Inzidenzkurve; ein beliebiger Punkt M sei der Mittelpunkt, und einem beliebigen Punkte P als Pol gehöre eine beliebige Gerade p als Polare zu. 1) Man vergleiche insbesondere: Jolles, Synthetische Theorie der Zentrifugal- und Trägheitsmomente eines ebenen Flächenstücks. Archiv der Math. u. Phys. (3) 2, S. 327. Drehen wir einen Strahl g um P, so bewegt sich sein Pol G auf p, und zwar wird dadurch der Strahlenbüschel P projektiv auf die Punktreibe p bezogen; beziehen wir aber gleichzeitig den Strahlenbüschel P perspektiv auf die unendlich ferne Gerade, so wird zwischen dieser und p eine projektive Beziehung hergestellt; beide Punktreihen erzeugen also einen parabolischen Strahlenbüschel II. O., wobei der Strahl PM den Berührungspunkt Po von p mit dem der unendlich fernen Geraden verbindet. Also: „Dreht sich im polaren Felde Σ ein Strahl um einen Punkt P, so umhüllen seine konjugierten Parallelstrahlen eine Parabel лp, für welche der Zentralstrahl PM der zur Tangente p konjugierte Durchmesser ist." II. Im polaren Felde ist der Punkt P Träger einer bestimmten Strahleninvolution; es seien (Fig. 1) g und g' ein Paar ihrer konjugierten Strahlen, G und G' deren Pole auf p. Wir wollen nun in die Ebene & ein zweites polares Feld II legen, welches durch die Parabel л als Inzidenzkurve definiert werden soll. Hierin hat die Tangente p ihren Berührungs Po G' G M P Go Fig. 1. -P punkt Po als Pol; P und Po liegen auf einem Parabeldurchmesser, folglich hat P zur Polaren eine Gerade P1, die zu p parallel ist und durch den Punkt P1 läuft, der von P doppelt so weit entfernt ist als Po In dem polaren Felde II muß also der Pol von g auf p1 liegen und außerdem auf einer Geraden, die man erhält, wenn mang in der ihr parallelen Parabeltangente go spiegelt. So ergibt sich, daß der Pol von g eben der Punkt G1 ist, in dem g' und p1 sich schneiden, d. h.,,der Punkt P trägt in den beiden kollokalen polaren Feldern und II dieselbe Strahleninvolution“. Für jede Parabeltangente go ist daher der Berührungspunkt Go sofort bestimmbar mittels des durch G1 gehenden Parabeldurchmessers. M III. Es empfiehlt sich, von nun an das polare Feld durch Hinzufügung seines Mittelpunktes als E zu bezeichnen; wir wollen nämlich in dieselbe Ebene noch ein drittes polares Feld Ep legen und dies dadurch definieren, daß wir P als Mittelpunkt und irgend zwei in Ex konjugierte Strahlen von P als konjugierte Durchmesser wählen und außerdem der Geraden p den Punkt M als Pol zuweisen.1) Dadurch ist erreicht, daß die Strahleninvolution, welche P in Em trägt, identisch ist mit der Durchmesserinvolution, die P in Ep trägt und analog für M; und ferner kann jeder Punkt von p doppelt aufgefaßt werden, nämlich in E als Pol eines durch P und in Ep als Pol eines durch M gehenden Strahles; diese beiden demselben Punkte von p entsprechenden Strahlen laufen aber parallel. Drehen wir also in Zu einen Strahl um P und gleichzeitig in Ep einen Strahl um M, so sind die von den konjugierten Parallelstrahlen eingehüllten Parabeln 1) Es gelten die folgenden Entwickelungen also nur unter der Voraussetzung, daß M im Endlichen liegt. |