selben Punct M gehälftet werden, so liegen ihre 2u (u+2) oder 2v (v+1)−2 Endpuncte p und p, allemal in einer durch sie bestimmten Curve C2μ oder C-1, welche den Punct M zum Mittelpunct hat."

§. 3.

Läfst man von den genannten Sehnen pp, eine weg, so ist die Curve durch die Endpuncte der übrigen nicht mehr bestimmt, aber durch jeden Punct p", den man frei annimmt und durch den sie gehen soll, wird sie bestimmt (weil dann nebst M wieder eben soviele p gegeben sind, wie vorhin), so dafs also unendlich viele Curven Cm durch diese übrigen Endpuncte möglich sind, die M zum Mittelpunct haben. Aber alle diese Curven schneiden einander, aufser den Endpuncten der Sehnen, noch in anderen bestimmten Puncten 9 und 41, deren Zahl beziehlich 2 (-1) und 2 (v-1) (v2)+1 ist, so dafs sie ein Curvenbüschel B (C") mit m2 Grundpuncten bilden (s. den obigen Monatsbericht). Die neuen Puncte sind eben so paarweise die Endpuncte von Sehnen 991, welche ihre Mitten in M haben; und im zweiten Falle, wo m= 2v-1, liegt der ungerade oder einzelne Punct, etwa q, in M selbst. Also:

,,Sind u(u+2)-1 oder v(v+1)-2 beliebige Sehnen 2 beliebige Sehnen pp、 gegeben, die alle durch denselben Punct M gehälftet werden, so gehen durch ihre Endpuncte ein Curvenbüschel B(C) oder B(C), welche alle den Punct M zum Mittelpunct haben, und deren übrige 2(u-1)2 oder 2 (v −1)(v — 2)+1 gemeinschaftliche Schnittpuncte (q und q) ebenfalls paarweise die Endpuncte solcher Sehnen qq, sind, die ihre Mitten in M haben. Im zweiten Falle liegt der einzelne Punct 4 im Mittelpuncle M selbst, so dafs alle Curven des Büschels B(C2-1) durch ihren gemeinsamen Mittelpunct gehen, der zugleich ein Wendepunct von jeder ist.”

So geben also z. B. durch die vier Endpuncte zweier Sehnen pp, ein Kegelschnitt-Büschel B(C2), welche alle M zum Mittelpunct, die beiden Sehnen zu Durchmessern, aber weiter keinen Punct gemein haben, weil 2(u — 1)2 — 0, wenn u 1 ist. Durch die 8 Endpuncte von 4 Sehnen pp, gehen ein B(C3), die noch einen 9ten Punct 4 gemein haben müssen, welcher der Mittelpunct M selbst und zugleich Wendepunct von jeder ist. Durch die 14 Endpuncte von 7 Sehnen pp gehen ein B(C), welche M zum Mittelpunct haben und sich noch in den Endpuncten einer neuen Sehne qq, schneiden, die gleichfalls ihre Mitte in M hat; u. s. w.

Einige andere Eigenschaften der obigen Curvenbüschel treten weiter unten gelegentlich hervor.

S. 4.

Zum Bebuf späterer Betrachtungen mag hier bemerkt werden, dafs eine Curve C", welche einen Mittelpunct hal, auch in solcher specieller Form erscheinen kann, wo sie aus verschiedenen Theilen besteht. So kann z. B. der Kegelschnitt C2

1) Durch zwei sich schneidende Gerade A und B vertreten werden, deren Schnittpunct als Mittelpunct M anzusehen ist; oder

2) Durch zwei parallele Gerade, A# B, wo dann der Mittelpunct unbestimmt bleibt, nämlich jeder Punct sein kann, welcher von A und B gleichweit absteht, also eine dritte Gerade C zum Ort hat, die mit A und B parallel und in der Mitte zwischen ihnen liegt.

Gleicherweise kann eine Curve C, welche einen Mittelpunct haben soll, insbesondere durch folgende Elemente vertreten werden.

1) Durch einen Kegelschnitt C2 und irgend eine durch seinen Mittelpunct gehende Gerade C', wobei der Mittelpunct M von C2 auch zugleich als Mittelpunct von C3 (= C2 + C1) anzusehen ist. (Gilt also auch, wenn C2 eine Parabel und C irgend ein Durchmesser derselben ist.)

2) Durch drei Gerade und zwar a) durch drei sich in einem Punct schneidende Gerade, wo dann dieser Punct selbst der Mittelpunct ist (hierin sind auch die zwei besondern Zustände inbegriffen, wo die drei Geraden parallel, oder zwei parallel und die dritte im Unendlichen); oder b) durch zwei parallele und eine sie schneidende Gerade, wobei die Mitte des von jenen beiden auf der letztern begrenzten Stücks der Mittelpunct ist; oder endlich c) durch drei parallele Gerade, wenn die eine gleich weit von den beiden andern absteht, wobei dann jeder Punct in der mittlern Geraden als Mittelpunct anzusehen ist.

Analogerweise kann die Curve Cin Theile zerfallen; u. s. w.

§. 5.

Die obige zweite Frage (S. 2.) verlangt zu wissen:,,Wieviele beliebige Puncte p dürfen höchstens gegeben werden, wenn durch dieselben eine Curve Cm gehen soll, welche einen Mittelpunct hat, der aber nicht gegeben ist."

Man überzeugt sich leicht, dafs unter dieser Bedingung nur zwei Puncte p mehr gegeben werden dürfen, als im obigen Falle (§. 2.), wo der Mittelpunct M selbst mit gegeben war. Denn sobald nur ein Punct, etwa 9, mehr

gegeben, so kann M schon nicht mehr beliebig liegen, sondern mufs sich auf einen Ort beschränken, der irgend eine Curve M sein wird; und wenn man statt q einen andern beliebigen Punct als gegeben annimmt, so wird der Mittelpunct M der Curve Cm einen andern Ort, etwa Mr, haben; und soll nun eine Curve C durch beide Puncte q und r gehen, so kann ihr Mittelpunct nur in einem den Ortscurven M und Mr gemeinsamen Puncte liegen. Da diese Ortscurven sich aber in mehreren Puncten schneiden, so wird die Curve C nicht absolut bestimmt sein, sondern die gestellten Bedingungen werden mehrere Lösungen gestalten. Also:

,,Soll eine Curve Cm einen Mittelpunct haben, so ist sie

a) als C2 durch μ(+2)+2

B) als C durch (+1)-1

=

[m(in +4)+8],

=

[m(m +4)+7]

beliebig gegebene Puncle p bestimmt, jedoch nicht absolut bestimmt, sondern es finden im Allgemeinen mehrere Lösungen statt.”

Wie es sich damit näher verhält, ist aus den nachfolgenden zwei einfachsten Beispielen zu ersehen.

S. 6.

Erstes Beispiel. Soll ein Kegelschnitt C durch 4 gegebene Puncte 3p und gehen, so ist der Ort seines Mittelpuncts Mein bestimmter anderer Kegelschnitt M2; und soll C durch die 3p und einen anderen gegebenen Punct gehen, so ist der Ort seines Mittelpuncts ein neuer Kegelschnitt M. Nun schneiden sich die beiden Örter M2 und M zwar in 4 Puncten: aber von diesen 4 Puncten besitzt nur einer die Eigenschaft, dafs er der Mittelpunct M eines Kegelschnitts C ist, welcher durch die 5 Puncte 3p, q und r geht; die drei übrigen haben diese Eigenschaft nicht, denn sie sind die Mitten der Seiten desjenigen Dreiecks, dessen Ecken die 3p sind, und hängen somit von diesen 3p allein ab. Nämlich bezeichnet man die 3p durch a, b, c, so geht bekanntlich der genannte Kegelschnitt M2 durch die Mitten der 6 Seiten des vollständigen Vierecks abcq; und eben so geht M durch die Mitten der 6 Seiten des vollständigen Vierecks aber: somit gehen beide durch die Mitten der 3 Seiten des Dreiecks abc, aber jede dieser 3 Mitten ist Mittelpunct zweier verschiedener Kegelschnitte C2, wovon der eine dem Viereck abcq, der andere dem Viereck aber umschrieben ist.

§. 7.

Zweites Beispiel. I. Die Curve C ist durch den gegebenen Mittelpunct M und durch 5 Puncte p, durch welche sie gehen soll, bestimmt; ist

nun die Lage von M nicht gegeben, aber dagegen noch ein 6ter Punct 4, durch welchen C3 gehen soll, so findet folgender Satz statt:

,,Soll eine Curve dritten Grads, C3, durch gegebene 6 Puncte 5p und q gehen, und einen Mittelpunct M haben, so ist der Ort des letztern eine Curve 5ten Grads, Ms."

Von dieser Ortscurve M5 sind nachstehende 57 Puncte theils unmittelbar gegeben, theils leicht zu construiren, indem sie die Mittelpuncte specieller Curven C3 sind. Nämlich die Curve M5 geht:

1) Durch die gegebenen 6 Puncte selbst; denn jeden derselben kann man als M annehmen und verlangen, die Curve C3 soll durch die 5 übrigen gehen (§. 2.).

2) Durch die Mitten u der 15 Geraden G, welche die gegebenen 6 Puncte paarweise verbinden; denn man kann die Mitte u einer solchen Geraden G als M annehmen und verlangen, die C3 soll durch den einen Endpunct von G und durch die 4 übrigen gegebenen Puncte gehen; so geht sie auch zugleich durch den andern Endpunct von G.

3) Durch die Mittelpuncte m der 6 Kegelschnitte C2, welche einzeln durch je 5 der gegebenen 6 Puncte gehen. Denn ein solcher C2 und sein durch den 6ten Punct gehender Durchmesser sind zusammen eine specielle C3, welche mit C den Mittelpunct gemein hat (§. 4.).

4) Durch die Mittelpuncte m, der 30 Kegelschnitte C, wovon jeder einzeln durch 4 der gegebenen 6 Puncte geht und seinen Mittelpunct in der die 2 übrigen verbindenden Geraden G hat. Denn ein solcher C und die zugehörige G sind zusammen eine C3, welche durch alle 6 Puncte geht und mit C denselben Mittelpunct hat. In jeder Geraden G liegen 2 Mittelpuncte m1.

Dies sind zusammen 57 Puncte: 1) 5p+q; 2) 15μ; 3) 6m; und 4) 30m1.

In jeder der 15 Geraden G kennt man demnach alle ihre 5 Schnitte mit der Curve M: nämlich ihre zwei Endpuncte (2p, oder p und q), ihre Mitte und die in ihr liegenden 2m,.

Um die Bestimmung der 30 Mittelpuncte m, deutlicher zu machen, bezeichne man die 5p durch a, b, c, d, e. Je 4 der gegebenen 6 Puncte, etwa a, b, c und d, bestimmen 6G, deren Mitten, 6u, in einem Kegelschnitte M2 liegen, welcher der Ort der Mittelpuncte aller durch a, b, c und d gehenden Kegelschnitte (C) ist (§. 6.), und welcher somit die durch e und q

gehende G in den genannten 2m, schneidet; ferner geht M auch durch die Mittelpuncte, 2m, der beiden Kegelschnitte C2, welche beziehlich durch die 5 Puncte abcde und abcdq bestimmt werden (3); folglich kennt man auch alle Schnitte des Kegelschnitts M2 mit der Curve M3, nämlich die genannten 6u, 2m, und 2m, zusammen = 10 Schnitte. Es giebt im Ganzen 15 solche Kegelschnitte M2.

II. Durch das Vorstehende (I.) läfst sich nunmehr auch leicht entscheiden, wieviele Curven C, welche Mittelpuncte haben, durch 7 gegebene Puncte 5p, q und r gehen. Denn soll die C3 nur durch die 6 Puncte 5p und gehen, so ist gleicherweise, wie vorhin (I.), der Ort ihres Mittelpuncts Meine neue Curve Mi; und soll also C3 durch alle 7 Puncte zumal gehen, so mufs ihr Mittelpunct in beiden Ortscurven M5 und Mi zugleich liegen, d. h. er mufs einer ihrer gegenseitigen Schnitte sein. Nun ist die Zahl dieser Schnitte 25; allein nach der obigen Auseinandersetzung befinden sich darunter 16 solche, welche der Forderung nicht genügen können, weil sie von den 5p allein abhängen, nämlich dieselben sind 1) die 5p selbst, 2) 10u, d. h. die Mitten der durch die 5p bestimmten 10 Geraden G, und 3) ein m, der Mittelpunct des durch die 5p gehenden Kegelschnitts C2; denn durch diese 16 Puncte gehen beide Ortscurven; daher bleiben für die Lage des Mittelpuncts M der Curve C3 nur 9 Schnittpuncte übrig Dies begründet den folgenden Satz:

,,Durch 7 gegebene Puncte in einer Ebene gehen, im Allgemeinen, nur 9 solche Curven dritten Grads, welche Mittelpuncte haben.”

Daraus schliefst man: a) Dafs unter den unendlich vielen Curren dritten Grads A3, welche durch beliebig gegebene 8 Puncte gehen, und somit einen Curvenbüschel B (A3) mit 9 gemeinschaftlichen Punclen bilden, sich im Allgemeinen keine befindet, welche einen Mittelpunct hat. b) Hat aber insbesondere eine der Curven einen Mittelpunct, so braucht deshalb von den übrigen keine einen Mittelpunct zu haben. c) Befinden sich insbesondere zwei darunter, welche Mittelpuncte haben, aber nicht concentrisch sind, so kann von den übrigen keine einen Mittelpunct haben, d. h.,, durch die Schnittpuncle zweier Curven A3, welche Mittelpuncte haben, aber nicht concentrisch sind, kann keine dritte gehen, welche ebenfalls einen Mittelpunct hat." d) Weifs man von drei Curven 43, dafs sie 8 Puncte gemein haben und dafs jede einen Mittelpunct hat: so folgt, dafs sie concentrisch sein müssen, und dafs alle zu ihrem Büschel ge