hörigen Curven ebenfalls Mittelpuncte haben und mit ihnen concentrisch sind, und dafs jene 8 (oder 9) Puncte die oben (§. 3.) beschriebene besondere Lage haben müssen. Analoges findet bei den höheren Curven statt.

S. 8.

In Betracht der Ortscurve M5 (§. 7. I.) sind durch besondere Wahl der gegebenen 6 Puncte, 5p und q, oder a, b, c, d, e und 4, zahlreiche specielle Fälle möglich, von denen einige hier kurz angedeutet werden sollen. I. Wenn die gegebenen 6 Puncte in einem Kegelschnitte C3 liegen, dessen Mittelpunct M, heifsen mag: so vereinigen sich die. dort genannten 6 Kegelschnitte C (§. 7. I. 3.) alle in C und ihre sechs Mittelpuncte in in M. Da C3 mit jedem seiner Durchmesser C zusammen eine C3 vorstellt, welche durch die 6 Puncte geht und M, zum Mittelpunct hat: so folgt dafs M1 ein vielfacher Punct der Curve M3 sein muss. 5 Puncte a, b, c, d, e gehende Kegelschnitt C punct hat, so folgt eben so, dafs dann die Curve M3 den Punct q zum Doppelpunct haben muss.

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Oder, wenn der durch die

den 6ten Punct g zum Mittel

II. Liegen von den 6 Puncten drei, etwa d, e und 9, in einer Geraden B: so muss M3 in diese Gerade und in eine Curve M zerfallen, so dafs M3 = B+M2. Denn jeder beliebige Punct N in der Geraden B ist Mittelpunct eines Kegelschnitts N der durch die 3 Puncle a, b, c geht, und der also mit B zusammen eine Curve C3 repräsentirt, welche durch die 6 Puncte geht und ihren Mittelpunct M in N hat; so dafs folglich B zum Ort der Mittelpuncte M gehört. Die Curve M geht durch folgende leicht angebbare 39 Puncte. 1) Durch a, b und c; 2) durch die Mitten u sowohl der 3G, welche die Puncte a, b, c unter sich, als der 96, welche a, b, c mit d, e, q verbinden, also durch 12u; 3) durch die Mittelpuncte in der 3C, welche beziehlich durch die dreimal 5 Puncte abcde, abcdy, abceg gehen; 4) durch 18 Puncte m,, in welchen die vorgenannten 9G von den ihnen (wie oben §. 7. I.) entsprechenden Kegelschnitten M2 geschnitten werden; und ferner durch 3 Puncte m1, in welchen die vorgenannten 3G, d. i. ab, ac, bc beziehlich von 3 Geraden C1, B1, A, geschnitten werden, die so bestimmt sind, dafs z. B. C, durch die Mitten u der 3 Geraden cd, ce und cq geht und die ab in m, trifft. Demnach kennt man die 4 Schnitte von jeder der 15 Geraden 3G, 9G, A1, B1 und C1 mit der Curve M*; eben so die 8 Schnitte von jedem der 9 Kegelschnitte M2 mit M*.

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III. Liegen die 6 Puncte zu 3 und 3 in zwei Geraden, etwa a, b, c in A, und d, e, q in B: so mufs die Ortscurve M5 aus diesen Geraden und aus einer Curve M3 bestehen, so dafs M3 = A+B+M3. Die Curve M3 geht durch folgende, leicht construirbare, 27 Puncte. 1) Durch 9u, die Mitten der 9G, welche die Puncte in A mit denen in B verbinden; 2) durch die 18 m,, in welchen die 9G von den zugehörigen 9 M2 geschnitten werden. Somit kennt man die 3 Schnitte jeder der 9G mit M3. Jene 9u liegen auch zu 3 und 3 in 6 Geraden, 34, und 3B,, wovon die 34, mit A, und die 3B, mit B parallel sind.

IV. Gehen von den 15 G, welche die 6 Puncte paarweise verbinden, irgend 3 G, die zusammen alle 6 Puncle enthalten, etwa die 3 Geraden ab, cd und eq, durch irgend einen Punct N, so vertreten sie eine C3, deren Mittelpunct in N liegt (S. 4.). Sind insbesondere die 3 Geraden ab, cd, eq parallel und liegt cd in der Mitte zwischen den beiden andern: so zerfällt M in die Gerade cd und in eine Curve M, von der 46 Puncte leicht anzugeben sind, nämlich aufser a, b, e, q noch 10u, 6m und 26m,. Sind zum zweiten Mal drei Gerade parallel und die mittlere gleichweit von den äussern entfernt, welche jedoch nur (wenn man sich bei jenen erstern ab, cd, eq die Endpuncte a, c, e nach links und b, d, q nach rechts denkt) entweder a) die Geraden ac, be, dq oder B) ae, cq, bd sein können: so müssen nothwendig zum dritten Mal 3 Gerade dieselbe Eigenschaft haben, und zwar beziehlich (a) bd, uy, ce oder (B) bc, be, ce. In beiden Fällen schneiden sich die 3 mittleren Geraden cd, be, aq oder cd, cy, be in einem und demselben Puncte N; aber im Falle (a) sind sie die Hauptdiagonalen eines Sechsecks abdyeca, welches die 3 Paar äufseren Geraden zu Gegenseiten hat, wogegen im Falle (3) die 3 Geraden des dritten Systems, bc, be, ce in eine und dieselbe Gerade, bce, fallen und wobei N, in c liegt. Für beide Figuren besteht M5 aus den drei mittlern Geraden, cd, be, aq oder cd, cq, be, und aus einem Kegelschnitte M2, welcher bei der ersten Figur die Seiten des genannten Sechsecks in ihren Mitten berührt und N, zum Mittelpunct hat; etc. Die 6 Puncte können endlich auch solche specielle Lage haben, dafs von den 15 G sich 10 mal 3G, die zusammen alle 6 Puncte enthalten, in einem Puncte N treffen, wobei dann Ms in 5 Gerade M1 zerfällt. Die einfachste Figur, diesen Fall darzustellen, ist die, wo elwa a, b, c, d, e die Ecken eines regelmässigen Fünfecks sind und der Mittelpunct des demselben umschriebenen Kreises. Die 5 Geraden M' sind alsdann ga, qb, qc, qd und ge;

die 10 Puncte N liegen paarweise in ihnen und sind, zu 5 und 5, die Ecken zweier neuen regelmäfsigen Fünfecke, welche gleichfalls q zum Centrum haben. In diesem Falle ist jedoch keine eigentliche Curve C3 mehr möglich, sondern jede besteht aus C+C', und zwar ist C1 immer diejenige von den 5 Geraden M', in welcher der Mittelpunct M von C2 liegt. Liegt M insbesondere in einem der 10 N, so besteht C3 aus 3 Geraden, = 3C1.

S. 9.

Die Curven, welche Mittelpuncte haben, besitzen, in Bezug auf dieselben, verschiedene wesentliche Eigenschaften, wovon einige hier näher angegeben werden sollen.

Zur Abkürzung soll dabei, so wie in der Folge

ein Doppelpunct durch dp oder P2,

eine Doppeltangente durch dt oder T2,

ein Wendepunct durch up oder w,
eine Wendetangente durch wt oder W,
ein Rückkehrpunct durch rp oder r,

eine Rückkehrtangente durch rt oder R,
eine Asymptote durch A, und

die unendlich entfernte Gerade der Ebene durch G2 bezeichnet werden.

=

I. Hat eine Curve Cm einen Mittelpunct M, so gehen ihre m Asymptoten A,, im Allgemeinen, alle durch denselben. Jede andere durch den Mittelpunct gehende Tangente der Curve ist nothwendig eine Doppeltangente T2, und ihre zwei Berührungspuncte, etwa b und b1, sind Gegenpuncte. Die Zahl der durch M gehenden ist = m (m—2), und ihre m(m-2) Berührungspuncte, b und b1, liegen in einer neuen Curve Cm-2, welche ebenfalls einen Mittelpunct, und zwar mit der gegebenen den nämlichen Punct M zum Mittelpunct hat. Von dieser neuen Curve gehen also eben so alle A, so wie eine ihrem Grad angemessene Zahl I2 durch den Mittelpunct M, und die Berührungspuncte der T2 liegen in einer neuen Curve Cm-4, welche gleicherweise denselben Punct M zum Mittelpunct hat; u. s. w. Werden die zwei Zahlformen von m unterschieden, so entstehen auf diese Weise zwei Curvenreihen:

Bei (a) hat die vorletzte Curve, C, noch 42 mit 8 Berührungspuncten, durch welche die letzte, C2, geht; und diese C2 hat nur noch 24,, aber keine mehr. Da für C- die Zahl der durch ihren Mittelpunct gehenden T2 = 2v (v — 2)+ ist, so hat das vorletzte Glied bei (B), C3, nur 2, was offenbar ihre Wendetangente im Mittelpuncte M bedeutet, und das letzte Glied C ist diese wt selbst. Übrigens haben alle Curven der Reihe (8) diese nämliche C1 zur gemeinschaftlichen wt, so dafs dieselben in ihrem gemeinsamen Mittel- und Wendepunct M sich insgesammt dreipunctig berühren. Auch für die Curve C2-1 bedeutet der Bruch,, die Wendetangente im Punct M selbst, und die Zahl der eigentlichen Doppeltangenten ist=2v (v—2). II. Die Tangenten in je zwei Gegenpuncten p und p1 der Curve C'm sind parallel. Alle ausgezeichneten Elemente der Curve, als da sind dp, wp, rp, dt, wt und rt, wofern sie nicht im Mittelpunct Moder im Unendlichen, in G liegen, müssen paarweise vorhanden und zwar Gegenelemente sein. D. h. die 3m (m2) w der Curve müssen paurweise Gegenpuncle, und die jedem Paar zugehörigen W müssen parallel sein; die m(m − 2) (m2 — 10) T2, die nicht durch den Mittelpunct M gehen, müssen paarweise parallel sein und gleich weit von M abstehen, auch sind die Berührungspuncte jedes Paars beziehlich Gegenpuncte; hat die Curve Doppelpuncte, 2, (die weder in M noch in G, liegen), so müssen dieselben paarweise vorhanden und Gegenpuncte sein, auch müssen die zwei Tangenten in dem einen P2, denen in seinem Gegenpuncle beziehlich parallel sein; eben so können auch die Rückkehrpuncte v nur paarweise und zwar als Gegenpuncte auftreten, und die zugehörigen Rükkehrtangenten müssen parallel sein. Hat dagegen die Curve einen Doppelpunct, der insbesondere im Unendlichen, in G, (oder in M) liegt, so bedingt derselbe nicht gleicherweise einen zweiten, vielmehr bewirkt er umgekehrt sogar noch eine scheinbare Abweichung von dem obigen Satze (I.). Nämlich, liegt ein Doppelpunct in G., so erscheinen die beiden Tangenten in demselben als zwei parallele Asymptoten, die, jenem Satze entgegen, nicht durch den Mittelpunct M gehen, wohl aber gleichweit von M abstehen; daher kann G. selbst nie Tangente der Curve in einem Doppelpuncte sein. Und liegt ferner ein Rükkeḥrpunct in G., so muss die Rückkehrtangente entweder auf G. fallen oder durch M gehen, wo sie dann im letztern Falle als zweifache (oder im weitern Sinne als fünffache) Asymptote anzusehen ist.

III. Zieht man durch den Mittelpunct M der Curve C irgend eine unbegrenzte Gerade, einen Durchmesser S, so liegen in ihm m Paare Gegenpuncte 4 und 1, oder im Sehnen 991, und die Tangenten in jedem dieser Punctenpare sind parallel, und zwar hat jedes Tangentenpaar, im Allgemeinen, eine besondere Richtung, so dafs, wenn man diese Richtungen der Tangenten, wie beim Kegelschnitt, dem Durchmesser S (oder den respectiven Sehnen qq.) ,,conjugirt” nennen wollte, alsdann zu demselben Durchmesser m verschiedene conjugirte Richtungen gehörten. Eben so würden umgekehrt zu jeder bestimmten Richtung der Tangenten auch mehrere conjugirte Durchmesser gehören; denn nach jeder gegebenen Richtung R, d. h. mit irgend einer gegebenen Geraden R parallel, sind im Allgemeinen (m-1) Tangenten möglich, deren Berührungspuncte nothwendig paarweise Gegenpuncte oder Endpuncte von Sehnen qq, sein müssen, so dafs also einer und derselben Richtung R, in dieser Hinsicht, m(m-1) verschiedene Durchmesser S (oder Sehnen qq,) conjugirt sind. In diesem Sinne kann man also sagen:,,Zu jedem Durchmesser S gehören m conjugirte Richtungen R, und zu jeder Richtung R gehören 1⁄2m(m—1) conjugirte Durchmesser S oder Sehnen qq1.” *)

Nun liegen ferner die m(m-1) Berührungspuncte jedes Systems paralleler Tangenten bekanntlich in einer neuen Curve C", welche die erste Polare des nach der Richtung der Tangenten im Unendlichen, in G., gedachten Pols P. heifst; und da die Berührungspuncte paarweise Gegenpuncte, oder die Endpuncte von m(m-1) Sehnen qq, sind, so mufs diese Curve ebenfalls den Punct M zum Mittelpunct haben. Gleicherweise müssen die 2, 3, ..., (m-1)ste Polare desselben Pols P. in Bezug auf die gegebene Curve C", welche nach der Reihe C-2, Cm-3, C2, C sind, den nämlichen Punct M zum Mittelpunct haben, wobei die letzte, C', eine durch M gehende Gerade, ein Durchmesser von jeder der übrigen Polaren, so wie von Cm ist. Also:

...

,,Hat eine Curve C" einen Mittelpunct M, so haben auch alle successiven Polaren Cm-1, C2, Cm-3, C2, C1 jedes unendlich entfernten Pols P. Mittelpuncte, und zwar sind sie alle mit der Basis CTM concentrisch."

*) Hierbei entsteht die doppelte Frage:

,,Welche Relation findet einerseits zwischen den 1⁄2m conjugirten Richtungen R zu jedem Durchmesser Š; und andererseits zwischen den m (m—1) conjugirten Durchmessern S zu jeder Richtung R statt?”