df dv (1 − y) d = (1+r) d£ +2(x dx − y dx) — 4v 411, et nous allons en conclure l'identité αμ Y αλ Multipliant à cet effet, membre à membre, les deux premières équations de (1) et (2), nous disposerons de la manière suivante, les divers termes du produit dy ν 2(1+r) X (yd/% − Zd/2)+(1+r) df (u_df -v df) ν dv μ dv αμ dy dY et nous concevrons qu'on ait opéré de même pour les produits (1—7)2y da, Or en ajoutant membre à membre les équations ainsi formées, on va voir se présenter diverses sommes partielles de termes dont l'évaluation est très facile. Considérons d'abord le premier terme mis en évidence dans df, savoir 2 (1+7) XY d (1-7)2 x 9 et (1-7)2, seront 2(1+7). Y(Zdy — xd) -- dy dy df dz αλ dy y), et leur somme que nous désignerons par le et 2(1+7) Z (xdz − y dz), du signemis devant le premier terme, s'exprime évidemment par un déterminant à trois colonnes, de sorte qu'on a puisque deux colonnes du déterminant sont identiques. Or on trouvera de même: df df λ dX' dX' df df dY' dY Σ (1+r) d f ( u d f − v df) = (1+r) af, ff, μ = 0, = 0, ΣΠ dy Y αλ dv Z = [] Maintenant il est à évaluer cinq autres sommes partielles, dont aucune ne s'évanouit plus. On a d'abord Σ(1+r)2X2ƒ{ƒ = (1+r)2 ( x dff + x df +z dz). df dX Pour calculer ensuite 2(u df -v df ) ( Y dr—z dz -ν zdy), dv αμ on employera une formule élémentaire de la théorie des déterminants qui exprime une somme de produits de déterminants à deux colonnes par un déterminant qui est lui même à deux colonnes. En ayant aussi égard à la relation suivante qui est facile de démontrer: et en ajoutant et reduisant, on obtiendra finalement, comme nous l'avons annoncé: ( 1 − y)2 ( x d f + Y d f + z ), df dz de sorte qu'on a identiquement: f(x, y, z) = f(X, Y, Z). Nous allons maintenant donner quelques conséquences de ces formules que nous venons de démontrer, pour la transformation en elle même d'une forme ternaire. II. La première de ces conséquences est le théorème exprimé par l'égalité λx+uy + vx = Χ+μα+ν, et que nous avons précédemment fait connaître. suivante. Nous y joindrons la remarque Selon que la substitution par laquelle f se change en elle même, est au déterminant 1 ou 1, il existe une fonction linéaire, que la même substitution réproduit identiquement, et reproduit changée de signe. · III. En mettant en évidence les indéterminées X, Y, Z, dans les formules (1), de sorte qu'elles deviennent: les racines de l'équation du troisième degré que l'on forme en égalant à zéro le déterminant du système Ainsi on voit que cette équation est réciproque; comme nous l'avons déjà dit. IV. df En formant l'expression ☛+ t (v d − μ df), и on trouvera qu'elle re produit une expression de même nature en X, Y, Z, mais où les signes de μ et v, sont changés, de sorte qu'on obtient: Ces formules montrent, qu'en désignant par S la substitution (1), S-', se déduira immédiatement de S, en y changeant λ, u, v, de signe. V. Faisons suivre S d'une nouvelle substitution S', où l'on aurait mis 2', u', v', au lieu de λ, u, v. La substitution composée S.S' changeant f en elle même, sera nécessairement comprise dans la même forme analytique que S et S', et devra se déduire des formules (1), en mettant au lieu de λ, u, v, des quantités L, M, N, fonctions de λ, μ, v, et de λ', μ', v'. Or voici l'expression de ces quantités. Ainsi, les fonctions linéaires que les substitutions Set S', changent en elles mêmes, étant λx+μy+vz et l'x+u'y+v'z, la fonction linéaire que reproduit la substitution composée S, S', sera Lx+My+Rz, ou, en omettant le (2x +μy + vz) + (2'x + u'y + - v'z)+(Lx+My+ N≈). C'est ce qu'on peut, comme on va voir, établir directement. D'après le théorème (V.) définissons la substitution S, par les équations df dY dX —u' df df dW -v' F), dU Z + ¿ (u' d f − ¿' df ) = w — ↓ (u' df − x' df), de sorte que S.S' s'obtienne en éliminant X, Y, Z, en exprimant x, y, z, en U, V, W. en ajoutant les équations (3), respectivement multipliées la première par λ', |