dreipunctig berührt, so dafs diese beiden Curven einander daselbst auch dreipunctig berühren.

Wiewohl durch jeden Punct 9 Doppelsehnen gehen, so sind dieselben doch nur zu 3 und 3 parallel, so dafs es nach jeder gegebenen Richtung nur je 3 S, giebt, oder mit andern Worten: durch jeden Punct Q in der Geraden G gehen nur 3 (nicht selbst im Unendlichen liegende) Doppelsehnen S2, indem die 6 übrigen auf die Gerade G selbst fallen. Die Mitten, P, je dreier paralleler Doppelsehnen liegen nothwendigerweise in einem Durchmesser, D, der Basis C (§. 15. I.), oder, was dasselbe ist, in der dritten äufsern Polare, D, des Punctes Q in Bezug auf die Basis, und die drei Sehnen S, haben die dem Durchmesser D conjugirte Richtung. Man denke sich ferner von demselben Puncte die erste äufsere Polare A3 in Bezug auf die Basis, so geht dieselbe, wie schon bemerkt, durch jene 9 Pole P3, welche dreifache Puncte der Curve P sind, und daher kann sie die letztern aufserdem nur noch in irgend drei Puncten P schneiden, welche (vermöge der Lage der 9P3) nothwendig zugleich in irgend einer Geraden liegen müssen. Diese Gerade ist aber gerade der genannte Durchmesser D und die drei Schnittpuncte P sind gerade die Mitten jener nach gerichteten 3 S2. Also:

,,Denkt man sich von irgend einem Puncte Q in der Geraden G die erste und dritte aufsere Polare in Bezug auf die Basis C1, A3 und D, so schneiden sich dieselben in denjenigen 3 Polen P, deren zugehörige 3 Doppelsehnen S, nach dem nämlichen Puncte Q gerichtet sind, oder welche die dem Durchmesser D conjugirte Richtung haben.” Und: Bewegt sich der Punct Q längs der Geraden G, so ist der Ort der 3 Schnitte P seiner ersten und dritten äussern Polare die nämliche Curve 10ten Grads P, welche alle Pole enthält, deren innere Polaren J3 zerfullen." Alle bei dieser Bewegung vorkommende Polaren 43 bilden einen Curvenbüschel, B(43), mit den 9 Grundpuncten P3.

Nun kann sich ereignen, dafs von den genannten Polaren A3 irgend eine die Curve P berührt, wobei von den 3 Schnittpuncten P zwei sich zu einem Berührungspuncte, etwa Po, von P10, A3 und D vereinigen, und wobei also auch die zugehörigen beiden Doppelsehnen S2 in eine, etwa 2, zusammenfallen; alsdann berührt diese Sehne die Curve S2 im entsprechenden Puncte Q, oder für diesen Fall Q, und ist somit eine Asymptote derselben, so wie Q einer ihrer, oben verlangten, gemeinschaftlichen Puncte mit der

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=

Geraden G ist. Da nun eine Curve PP von den Curven eines Büschels B(Q) in p(p+2q-3) Puncten berührt werden kann (s. óbigen Monatsbericht): so müfste danach die Curve P10 von dem Büschel Polaren B(A3) in 10(102.3-3): 130 Puncten Po berührt werden. Allein von diesen 130 Puncten werden 108 durch jene gemeinschaftlichen 9 Puncte P, absorbirt, so dafs nur noch 22 frei bleiben, unter welchen sich jedoch noch jene bereits bekannten 4 Puncte a befinden, so dafs es also nur 18 zulässige Berührungspuncte Po giebt und diesen 18 Puncten P entsprechen somit auf der Geraden G. die verlangten 18 Puncte Qu, so wie die zugehörigen 18 Asymptoten der Curve S2. Das heifst: Die oben noch fehlenden 18 gemeinschaftlichen Puncte Qo der Curve S2 und der Geraden G haben die Eigenschaft, oder sind dadurch bestimmt, dafs die erste und dritte Polare eines jeden derselben in Bezug auf die Basis sich in irgend einem Puncte o berühren, und dafs die jenem Puncte zugehörige Asymptote S2 zugleich durch den letztern Punct geht. Dieselbe Eigenschaft besitzen übrigens auch jene 4 Puncte a, jedoch mit dem Unterschiede, dafs jeder Q und P zugleich ist, d. h. dafs die erste und dritte Polare eines jeden sich mit der Curve P in ihm selbst berühren, und zwar ist seine dritte Polare die zugehörige Asymptote A, der Basis, so dafs also die 4 Asymptoten der Basis zugleich specielle Durchmesser derselben sind. Die 18 Asymptoten haben als Doppelsehnen die besondere Eigenschaft: dafs die in ihren Endpuncten a und a, b und b, an die Basis C gelegten Tangenten-Paare A und A ̧, B und B ̧ sich auf dem zugehörigen Durchmesser D schneiden, so dass dieser Durchmesser eine Diagonale des vollständigen Vierseits AA,BB, ist, dessen beide andern Diagonalen mit S1⁄2 parallel sind.

1

Jeder Durchmesser D schneidet die Curve P aufser jenen 3 Puncten P, die zugleich in der entsprechenden Polare A3 liegen, in noch 7 andern Puncten P; aber jene unterscheiden sich von diesen wesentlich dadurch, dafs die ihnen zugehörigen Doppelsehnen S2 die dem Durchmesser conjugirte Richtung haben, wogegen die zu den 7 andern gehörigen Doppelsehnen zu je einem andern Durchmesser conjugirt sind. Also: Von den je 10 Polen P, welche in irgend einem Durchmesser D liegen, gehören ihm 3 in der Art eigenthümlich an, dafs die ihnen zugehörigen Doppelsehnen die dem Durchmesser conjugirte Richtung haben, oder nach seinem in G。 liegenden Pol Q gerichtet sind.

Über die Durchmesser insgesammt hat man folgenden Satz:

„Alle Durchmesser, D, der gegebenen Basis C umhüllen eine bestimmte Curve 3ter Classe, D3, und 4ten Grads, welche drei Rückkehrpuncle, x, und eine Doppeltangente, D2, hat; und namentlich berührt diese Curve jede der 4 Asymptoten A, der Basis (als specielle Durchmesser) in demjenigen Puncte, welcher der Schwerpunct von ihren 3 Schnittpuncten mit den 3 andern Asymptoten ist." Die Curve D3 heifst auch die dritte Polare der Geraden G. in Bezug auf die Basis Ca (Monatsbericht).

Danach gehen also durch jeden beliebigen Punct R in der Ebene, im Allgemeinen, je drei Durchmesser der C; somit auch durch jeden Punct Q, in G, drei parallele Durchmesser, etwa D, und zwar haben diese die conjugirte Richtung desjenigen Durchmessers D, welcher dem Puncte Q entspricht (dessen 3 Polare ist); aber die den drei Durchmessern D, conjugirten Richtungen sind unter sich, so wie auch, im Allgemeinen, von der Richtung des Durchmessers D verschieden. Nämlich:

Die Basis C hat im Ganzen nur drei Paar conjugirte Durchmesser, d. h. solche Durchmesser, wovon jeder die conjugirte Richtung des andern hat, und zwar sind dieselben beziehlich nach den obigen Puncten-Paaren x und x1, y und y1, z und z, in der Geraden G gerichtet, und somit den dort construirten Strahlen-Paaren X und X1, Y und Y, Z und Z, parallel. Denkt man sich den Punct in einem der 6 Puncte, etwa in x, so geht der ihm entsprechende Durchmesser D durch den conjugirten Punct 1, und auch umgekehrt; und zwar ist dabei z1 zugleich einer der drei Puncte P, die dem Durchmesser D eigenthümlich zugehören, oder in denen er von der entsprechenden Polare A3 geschnitten wird.

Die 4 Asymptoten A, sind diejenigen besondern Durchmesser, welchen ihre eigene Richtung conjugirt ist.

Die Doppellangente D2 der Curve D3 ist gewissermassen ein doppeller Durchmesser, d. h. ein solcher, welchem zwei verschiedene Richtungen conjugirt sind, so dass ihm auch zwei verschiedene Pole auf der Geraden G entsprechen, etwa Q2 und Q2, welche nach den beiden Richtungen hin liegen; ebenso müssen ihm zweimal 3 Pole P eigenthümlich angehören und die zu denselben gehörigen Doppelsehnen S2 müssen zu 3 und 3 die conjugirten Richtungen haben, also parallel oder nach den Puncien Q2 und Q gerichtet sein.

Die conjugirten Richtungen der drei Durchmesser, welche durch

irgend einen gegebenen Punct R gehen, sind allemal durch die Asymptoten der beiden ersten Polaren A3 und J3 des nämlichen Punctes bestimmt, und auch umgekehrt.

Jeder (in P10 liegende) Pol P gehört, im Allgemeinen, nur einem der durch ihn gehenden drei Durchmessern eigenthümlich an, nämlich demjenigen, welchem die zugehörige Doppelsehne S2 conjugirt ist. Nur von jenen besondern 9 Polen P, gehört jeder allen drei Durchmessern zugleich an, indem ihm auch drei Doppelsehnen zugehören, welche den Durchmessern beziehlich conjugirt sind.

,,Die durch jeden der 9 Pole P, gehenden drei Durchmesser berühren die durch denselben gehenden drei Zweige der Curve P10 daselbst.” Ist der Pol Px (P) insbesondere einer der 40 gemeinschaftlichen Puncte der Curven P10 und D3, so fallen von den durch ihn gehenden drei Durchmessern zwei zusammen, nämlich auf die Tangente der Curve D3 im Pol P, welche D, heifsen soll; der andere Durchmesser berührt die D3 in irgend einem andern Puncte, etwa Ro, und heifse D,. Nun sind hierbei zwei Fälle möglich, nämlich entweder gehört der Pol Px

1) dem Durchmesser Dt, oder

2) dem Durchmesser D, eigenthümlich an;

und davon hängen sodann weiter folgende interessante Umstände ab:

x

I.,,Gehört der Pol P, zum Durchmesser D, so besteht seine innere Polare J3 aus J2+S2 und zwar ist die Doppelsehne S2 zugleich eine Asymptote des Kegelschnitts J2;" und

x

II.,,Gehört der Pol P zum Durchmesser D,, so besteht seine innere Polare aus S2+J+J, wobei die Geraden J und J, parallel sind und gleichweit vom Pol abstehen."

Hierbei entsteht die Frage:

Wieviele von den 40 Polen P, gehören zu Durchmessern D1, und wieviele gehören zu Durchmessern D,? oder wieviele in J2 + S2 zerfallende innere Polaren giebt es, bei welchen S2 Asymptote von J2 is!, und wieviele giebt es, welche in drei Gerade S2+J+J, zerfallen?

Diese Frage weifs ich vor der Hand noch nicht sicher zu beantworten,

und überlasse sie daher dem geneigten Leser.

Über die Curve D3 will ich noch Folgendes bemerken.

„Die Curve D3 ist der Ort desjenigen Pols R1, dessen äussere Polare A3 die Gerade G. berührt; und die dritte Polare des Berührungs

puncles, Q, ist gerade derjenige Durchmesser D, welcher die Curve D3 in jenem Pole R berührt." Da nun die innere Polare J3 desselben Pols R mit der Geraden G allemal die nämlichen drei Puncte gemein hat, wie die äufsere A3 (§. 13. II.), so mufs auch sie die Gerade G in Q berühren; allein nach dem Früheren (§. 11.) ist diese Berührung nur dadurch möglich, dafs Q ein Doppelpunct der Curve J3 ist. Daher kann man auch sagen:

,,Der Ort desjenigen Pols R, dessen innere Polare J3 nur einen einzigen Doppelpunct Q (oder insbesondere auch drei Doppelpuncte) hat,*) ist die Curve D3, und der Ort des Doppelpunctes ist die Gerade G." Bei denjenigen Polen Px (R), deren innere Polaren aus S2+J+J, bestehen, und somit drei Doppelpuncte haben, liegt nur einer der letztern (der Schnitt von J und J) auf der Geraden G.; und bei denjenigen P., deren innere Polaren aus J+S2 bestehen, fallen die zwei Doppelpuncte in einen zusammen, der als ein Rückkehrpunct anzusehen ist und in G liegt.

,,Liegt der Pol R insbesondere in einem der drei Rückkehrpuncte r der Curve D3, so ist der ihm entsprechende Punct Q zugleich ein Wendepunct seiner Polare A3 und ein Rückkehrpunct seiner Polare J3, und zwar ist die Gerade G beziehlich die zugehörige Wende- und Rückkehrlangente."

2

Liegt ein Pol R in dem Doppeldurchmesser (Doppeltangente der D3) D2, so gehen seine beiden Polaren A3 und J3 durch die dem D2 entsprechenden beiden Puncte Q2 und Q auf G; und bewegt sich R längs D2, so bleiben also zwei Paar Asymptoten der Polaren A3 und J3 sich selbst parallel, nämlich stets nach jenen Puncten Q2 und Q gerichtet.

Hat die Basis C kehrpuncte, oder besteht

S. 18.

specielle Form, hat sie z. B. Doppel- oder Rücksie aus Theilen, nämlich aus

1) C3+C1; 2) C2+C; 3) C2+2C1; 4) 4C':

*) Soll die Polare J3 zwei (und auch drei) Doppelpuncte haben, so mufs sie aus J2+S, bestehen, somit der Ort ihres Pols die Curve Po sein, und dann sind die Doppelpuncte die gegenseitigen Schnitte von J' und S,, etwa und D,. Dabei kann man fragen: In welcher Curve, ", liegen alle diese Doppelpuncte? Ist der Grad-Exponent, n, etwa gleich der Zahl derjenigen Pole Px, welche zu Durchmessern Di gehören? und sind die diesen Polen zugehörigen Doppelsehnen S, zugleich Asymptoten der Curve ? Diese unbekannte Curve" hat übrigens die 9 Pole P, gleichfalls zu dreifachen Puncten, wie die Curve Po. Der Ort der Doppelpuncte aller innern Polaren J insgesammt besteht also aus "+G.

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