punkte P1, P2, so gilt die erwähnte Eigenschaft nur noch für das eine Dreieck P,P,P," 2 Aus dem zweiten Teil des Satzes folgt insbesondere eine merkwürdige Eigenschaft der Brennpunkte eines (Mittelpunkts-)Kegelschnitts. Bekanntlich geht ein Kegelschnitt C, vermöge einer eineindeutigen quadratischen Transformation T2, deren drei Fundamentalpunkte P, Q1, Q seien, in eine Kurve vierter Ordnung C, über, die in P, Q1, Q2 Doppelpunkte besitzt. 4 Es mögen zwei der Fundamentalpunkte, etwa Q1, Q2, in die beiden „Kreispunkte" fallen. Dann ist die C, das Bild des Kegelschnitts C2, eine Lemniskate mit reellem Doppelpunkt in P. Unter den in Rede stehenden Transformationen T, von deren drei Fundamentalpunkten zwei in die Kreispunkte fallen, ist die Inversion oder Transformation durch reziproke Radien von spezifisch metrischem Interesse. Unterwirft man daher einen Mittelpunktskegelschnitt C2 der Tat leicht, daß für jeden ihrer Punkte r1 ·r2 =±r√2 gilt, wenn den Radiusvektor vom reellen Doppelpunkt (x = 0, y = 0) bedeutet. Denn es ist rj + r} = 2(x2 + y2 + e2) = 2r2 + 2e2 = 2 r2 + 2 r1 TM1⁄2· Für die allgemeinere Lemniskate hingegen, wo r12 = c2(e2), mit der Gleichung: (x2 + y2)+2e2 (y2— x3) = c1 — e1, berechnet man, daß im ersten Hauptfalle e2> c2 („,zweizügige“ Lemniskate) auf der x-Achse (Hauptachse) außer den Brennpunkten F1, F, (xe) noch die zwei weiteren Brennpunkte Fí, F(x = ±ɛ) liegen, wo e2ε2 = e1 — c1. Umgekehrt ist für beliebiges e und ɛ(<e) ce2(e2 — e3), also c2+ eve eindeutig bestimmt. 2 Im zweiten Hauptfalle e<c (,,einzügige" Lemniskate) existieren außer den beiden Brennpunkten F, F, noch zwei Brennpunkte G,, G, (y=n) auf der y-Achse (Nebenachse), wo e2n2=c'-e'. Umgekehrt ist bei beliebigen e, n, die Größe c2 eindeutig vermöge c' + eVe2 + n2 bestimmt. c2 = Bezeichnet man nunmehr, den verschiedenen Möglichkeiten entsprechend, resp. mit r¡, e;, 6; (i = 1, 2) die Entfernungen eines beliebigen Kurvenpunktes von F, F, G, so führt die Rechnung zu folgenden vier Hauptmöglichkeiten, je drei Brennpunkte herauszugreifen: In den beiden ersten Fällen ist bei festgehaltenem i das Vorzeichen der rechten Seite für beide Züge das entgegengesetzte, andererseits auch bei festgehaltenem Zuge für i 1 und i 2 das entgegengesetzte. In den beiden letzten Fällen kommt nur das positive Vorzeichen in Betracht. einer Inversion mit dem Zentrum in einem beliebig (sc. nicht auf C2 liegenden) Punkte P, so ist sein Bild eine Lemniskate mit reellem Doppelpunkt in P. 2 Seien F, F, die beiden (reellen) Brennpunkte des Kegelschnitts C2, so schneiden sich in ihnen je zwei Minimalgerade, die zugleich Tangenten der C sind. Diese Tangenten besitzen aber als Bild vermöge der Inversion gerade die Tangenten, die von den beiden imaginären Doppelpunkten der Lemniskate an die letztere gehen, d. h. die Bilder der beiden Brennpunkte F1, F2 sind gerade die beiden oben mit P1, P2 bezeichneten Brennpunkte der Lemniskate. Darin ist der Satz über Kegelschnitte enthalten: „Man verbinde einen beliebigen Punkt P der Ebene mit den beiden Brennpunkten F1, F. eines festen Kegelschnitts (der nicht durch P hindurchgeht). Die beiden Verbindungsgeraden mögen den Kegelschnitt in den (stets reellen) Punkten A, B1, resp. A, B, treffen. Unterwirft man die Figur dieser beiden Punktetripel A1, F1, B1; Ag, F, B2 irgend einer Inversion mit Zentrum in 0, und sind Ai, P1, Bi; A2, P2, Bg die Bilder jener sechs Punkte, so besteht zwischen den Entfernungen irgend eines der vier Punkte A1, A2, Bí, B' von den drei Punkten P, P1, P2 eine lineare Relation mit denselben Koeffizienten.") i Es wird manchem Leser erwünscht sein, für den oben dargelegten geometrischen Gedankengang des obigen dritten Beweises vom Ptolemäischen Satze und seiner Umkehrung eine analytische Bestätigung zu sehen. Eine solche mag daher noch folgen. Um die Rechnung zu vereinfachen, mögen von vornherein die Punkte Q1, Q2, durch die die drei Geraden U resp. V (s. Gl. (III)) gehen sollen, in die beiden Kreispunkte verlegt werden. Die drei Punkte P(U;= 0, V; 0, i = 1, 2, 3) mache man zu Ecken eines Koordinatendreiecks und lege der Rechnung Dreieckskoordinaten X1, X2, X3, zu Grunde. Versteht man dann unter B1, Pa, s die drei Winkel des Dreiecks, unter s1, S., Sg ihre Sinus, unter C1, C, C ihre Kosinus, so lautet) die Gleichung des durch P1, P2, P3 gehenden Kreises (des „Umkreises" des Koordinatendreiecks): (40) S1 X2 X3 + Sq X1 X3 + S3 X1 Xq = 0; i ferner die Gleichung des Paares der von der Ecke P; ausgehenden Minimalgeraden: (41) x2 + x2 + 2xx Xi C ; = 0 (i, k, l = 1, 2, 3). 1) Und das Nämliche gilt von jedem Punkte x', der vermöge der Inversion aus einem Punkte x des Kegelschnitts hervorgeht. 2) Man vgl. etwa Salmon-Fiedlers Kegelschnitte, Kap. IV. Somit erhält die Gleichung (V), wenn α1, α, α, beliebig gegebene Koeffizienten bedeuten, die Gestalt: d. i. also die Gleichung einer verallgemeinerten Lemniskate C1, von der drei reelle Brennpunkte in P1, P2, P3 liegen. Soll jetzt der Punkt P1(x = 0, xg= · 0, x = 0) auf der C liegen, so ergibt sich sofort als Bedingung Va, + Vα= 0, oder Man bestätigt leicht, daß in der Tat jetzt P1 ein Doppelpunkt der Kurve ist, indem in der rational gemachten Gleichung (IV') die Koeffizienten von x1, xx, xx, verschwinden. Soll weiter auch P, auf der Kurve liegen, so ist auch a1 = αg, mithin ergibt sich für (IV) die symmetrische Gestalt: Es ist zu zeigen, daß (VI) den Umkreis des Dreiecks P1, P2, P3 doppelt zählend darstellt. Macht man (VI) rational, so erhält man sofort: (VI') xjxžs2+ x2x2så + x3x3så = + 2x XqXz (C1 + €9C3) + 2x2X1X3(C2 + C1 €3) + 2x2 X1 X2 (C3 + C1 C2) = 0. = Da aber B1, B2, B3 die Winkel eines Dreiecks sind, so ist c1 = cos B1 — — cos (ẞ, + ẞ3) — — Cq Cg + Sq Sg etc.; durch Einsetzung dieser Werte für C1, C2, Cg wird offenbar die linke Seite von (VI) das Quadrat der linken Seite von (40). Damit ist der Satz des Ptolemäus nebst seiner Umkehrung aufs neue bewiesen, und man erkennt zugleich, daß Gleichung (VI) nichts anderes als die Ptolemäische Formel (II) in Dreieckskoordinaten ist. 4. Einführung der komplexen Größen. Führt man komplexe Größen ein, sodaß z = x + iy einen Punkt der Ebene darstellt, so erweist sich der Satz des Ptolemäus nebst seiner Umkehrung als gleichwertig mit dem bekannten Satz1) aus der Theorie jener Größen, daß 4 1) In der Tat, sind z1, Z., Z., 24 irgend vier Punkte P1, P., P3, P, der Ebene und bezeichnet, wie in Nr. 1, rix (i <k) die absolute Entfernung P¡P, ferner %, resp. %, den Winkel der Strecken 71, 724 resp. 71, 74, so hat man unmittel12pX2 21-29 bar 24 = 1sex, also nimmt das Doppelverhältnis 184 das Doppelverhältnis von vier Punkten dann und nur dann reell ist, und zwar gleich dem Doppelverhältnis auf dem Kreise, wenn die vier Punkte auf einem Kreise liegen, in Verbindung mit der Identität (I). Nimmt man also als Parameter auf dem Kreise die schon in Nr. 1 betrachtete Größe 1 = ዎ tg wo i alle Werte von ∞ bis + durch läuft, und wählt vier Kreispunkte 21, 22, 23, 24 in zyklischer Folge (λ1 > λg > λg > λ), so ist eines der sechs möglichen Doppelverhältnisse D: (43) (44) Führt man daneben ein zweites der sechs Doppelverhältnisse ein: (λ1 — 24) (2q — λg) D' so ist gemäß der Identität (I): (45) D+D' = 1. Da aber andererseits ein reelles Doppelverhältnis von vier komplexen Werten gleich dem Doppelverhältnis ihrer Moduln ist, und letztere die absoluten Entfernungen r (i <k) zwischen je zweien der vier Punkte sind, so hat man: und demnach auf Grund von (45) die Ptolemäische Formel: Umgekehrt, geht man von vier beliebigen Punkten (komplexen Werten) aus, die nur der Bedingung unterliegen, daß die Ptolemäische Formel (II) gelten soll, so ist = = 0, resp. (≈1 — Zg) (Zq — ≈4) reell, wenn X2 T18724 =2R ist. Das sagt nichts anderes aus, als daß die über der Strecke r1 stehenden Winkel X2, X, entweder übereinstimmen (wenn die Punkte P., P, auf derselben Seite der Geraden P1 P1 liegen), oder sich zu 2R ergänzen (wenn die Punkte P, P, auf verschiedenen Seiten der Geraden P1 P1 liegen). Dies ist aber offenbar, auf Grund des Satzes über Peripheriewinkel auf demselben Bogen, die notwendige und hinreichende Bedingung, daß die vier Punkte P1, P2, P ̧, P1 auf einem Kreise liegen. Überdies ist nach Nr. 1 rik Sind andererseits 21, Z2, Z3, Z4 die vier komplexen Werte, und die entsprechenden Doppelverhältnisse: Da aber die beiden, links in (47) auftretenden Brüche die Moduln der Doppelverhältnisse 4,4′ sind, so folgt aus (47) und (49), daß die Summe der zwei komplexen Größen 4, 4′ gleich der ihrer Moduln ist. Dann aber sagt ein elementarer Satz aus, daß jede der beiden komplexen Größen reell ist, also mit ihrem Modul übereinstimmt. Also liegen dann die vier Punkte auf einem Kreise. Königsberg i. P., Juli 1903. Bemerkungen zur Theorie der Abelschen Funktionen. Von HERMANN STAHL in Tübingen. Zweite Note (Zu St. A. F. Abschnitt II). Die zweite Note enthält eine vollständige Neubearbeitung des zweiten Abschnitts der A. F., der von den algebraischen Funktionen, d. h. von den rationalen Funktionen R(x, y) der beiden durch die irreduzible Gleichung F(x, y) = 0 verknüpften Variabeln x und y handelt. Den Ausgangspunkt bildet ein neuerdings veröffentlichter Satz von Fields'), der ganz besonders zur Grundlage für die Theorie der algebraischen Funktionen geeignet erscheint, weil er die Fundamentalaufgabe, d. h. die Darstellung der Funktion R(x, y) aus gegebenen Elementen und die Herstellung der Bedingungsgleichungen zwischen diesen Elementen, direkt angreift und in der einfachsten und natürlichsten Weise löst. Ich habe daher diese Behandlung an die Stelle der früheren gesetzt. 1) Fields, Acta Math. Bd. 26 S. 157–170 (1902). In ähnlicher Weise hat Christoffel, Annali di mat. Ser. II. T. X. p. 81 ff. (1880) die Integranden erster Gattung behandelt. Vgl. auch Landfriedt, Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale. Sammlung Schubert XXXI. Leipzig 1902. Die Behandlung von Fields ist eine direkte Verallgemeinerung der Behandlung des Falles der elliptischen Funktionen, s. Erste Note (Dieses Arch. (3) 6, S. 180.) |