Potenzen von x und y entwickelt und die Koeffizienten der ∞ werdenden Glieder gleich O setzt. Eine geschickt angelegte Rechnung1) führt zu dem Schluß, daß sich To(x, y) auf eine Konstante C, reduzieren muß und zwischen den A, und (α, ẞi) sehr einfach gebildete Gleichungen bestehen müssen. Man gelangt so unmittelbar zu dem Satz von Fields: III. Die allgemeinste Funktion R (x, y) von der in Aufgabe (A) verlangten Art wird dargestellt durch den Ausdruck (5) r+m C。 R(x, y) = Σ A;Ta,(x, y) + % i=1 mit der Bedingung, daß zwischen den Elementen A, und (α, ß;) die r+p Gleichungen Soll die Funktion R(x, y) in einzelnen Doppelpunkten für die beiden Zweige denselben Wert haben, so sind die entsprechenden Konstanten A, gleich O zu setzen. Wir geben den Bedingungsgleichungen (6) noch eine andere Form. Die allgemeinste (nicht adjungierte) ganze rationale Funktion X(x, y) vom (n-3) ten Grade enthält nach (4a) r + p willkürliche, homogene Koeffizienten 7 und ist von der Form γλμ Multipliziert man nun die Gleichung (6) mit 7μ und summiert nach λ und μ, so erhält man die Gleichung: Υλμ' Xr+p mit willkürlichen Koeffizienten ? Da sich die allgemeine Funktion X(x,y) aus r + p linear unabhängigen Funktionen derselben Art X1, . . ., zusammensetzt, so kann man die Gleichungen (6) durch die r + p Gleichungen (8) ersetzen. r+m r+m 1) Fields, 1. c. S. 160-164. i=1 § 10. Zahl der linear unabhängigen D-Funktionen. mann-Rochsche Satz. Der Rie Der Satz von Fields führt zunächst, wenn wir der Zahl m den Wert 0 geben, zu ein paar wichtigen Sätzen über die D-Funktionen. Die Funktion R (5) § 9 lautet dann: Dies wäre, die Bedingungsgleichungen (8) § 9 vorausgesetzt, eine Funktion, die in keinem Punkt der Fläche T unendlich wird; eine solche Funktion aber ist eine Konstante. Es müssen also in (1) die Koeffizienten A, sämtlich Null sein. Dierp Gleichungen (8) § 9, gebildet für m = O, können daher auch nur bestehen, wenn die r Größen A1 = 0 sind. Nun ist die Zahl der Schnittpunkte der Kurve F0 mit einer allgemeinen Kurve X=0 vom (n-3) ten Grade nach A. F. § 7, I. gleich n (n-3). Tritt an Stelle von X = 0 eine adjungierte Kurve = 0 vom (n-3)ten Grade, so fallen 2r dieser Punkte in dier Doppelpunkte a von F = 0. Die Zahl der Schnittpunkte, die = 0 außer den Doppelpunkten mit F= 0 besitzt, ist also = n 2r oder n (n-3) wegen der Relation (4a) § 9 gleich 2p-2. Daher der Satz: I. Die Zahl der Nullpunkte, die eine adjungierte Funktion Grade n-3 außer den Doppelpunkten auf F = 0 besitzt, ist gleich 2p - 2. vom Die Bedingungen, die ausdrücken, daß = 0 eine adjungierte Kurve sei oder durch die r Doppelpunkte a, von F0 gehe, sind (2) Þ (α, ß1) = 0, . . ., Þ(α,, ß‚) — 0. Wir behaupten, diese Gleichungen sind linear unabhängig. Denn gäbe es r konstante Faktoren A,,..., A,, mit denen sie multipliziert die Summe Null lieferten, so hätte man eine Gleichung von der Form (7), § 9, gebildet für m = 0, ohne daß die Koeffizienten A, gleich Null wären; das ist nach der obigen Bemerkung unmöglich. Daher der Satz: II. Die r Bedingungsgleichungen (2), die ausdrücken, daß D 0 eine adjungierte Kurve vom (n-3)ten Grade von F = 0 sei, sind linear unabhängig. = Ferner ist die Zahl der linearen, homogenen Koeffizienten einer allgemeinen Kurve X=0 vom 0 vom (n -3)ten Grad gleich r+p. Soll diese Kurve F = 0 adjungiert, also eine -Kurve sein, so müssen die Koeffizienten den r Gleichungen (2) genügen, die nach II. linear unab hängig sind. Daher bleiben noch r+p-rp lineare homogene Koeffizienten in willkürlich, und man hat den Satz1): III. Die Zahl der linear unabhängigen adjungierten Funktionen D vom (n − 3)ten Grad ist genau gleich dem Geschlecht p von F = 0. Demnach stellt sich jede adjungierte Funktion vom (n − 3)ten Grad dar in der Form wo 1,..., λ beliebige Konstanten und P1,..., P p fest bestimmte, linear unabhängige -Funktionen sind und jede nicht adjungierte Funktion X vom (n-3)ten Grad in der Form r wo die u, und beliebige Konstanten und X1,..., X, fest bestimmte, nicht adjungierte Funktionen vom (n-3) ten Grad sind, die unter sich und mit den P1,..., zusammen linear unabhängig sind. Wir kehren zurück zu dem allgemeinen Fall m>0 und benutzen die Gleichungen (4), um den Fieldsschen Satz und die Bezeichnungen etwas zu verändern. Wir bezeichnen im folgenden dier Doppelpunkte mit (a ya) oder kurz mit a(k = 1,..., r), die m∞1Punkte von R(x, y) mit (b, y) oder kurz mit b1 (1 = 1,..., m) und die m Konstanten A,+1,..., A,+m mit B,..., B. Wir ersetzen ferner die r+p Funktionen X, ..., X,+p in (8) § 9 durch die in (4) auftretenden Funktionen P,..., P, Φρ X1,..., X. Die Funktion (5) § 9 nimmt alsdann die Form an (5) p Die Bedingungsgleichungen (8) § 9 zerfallen, da für die r Doppelpunkte a alle 4, (a) (i = 1,..., p; k = 1,..., r) verschwinden, in zwei Systeme, nämlich in p Gleichungen i die nur die 'Punkte b, und die zugehörigen Konstanten B1 enthalten und zur Bestimmung der B, dienen, wenn die Punkte b, gegeben sind, und in r Gleichungen 1) Dieser Satz, der zugleich aussagt, daß die Zahl der linear unabhängigen Integrale erster Gattung gleich p ist (St. A. F. Abschnitt III § 15) wird von Riemann (Ges. W. S. 98) auf transzendentem Wege bewiesen. die zur Bestimmung der Größen A, dienen, nachdem die B, bestimmt sind. Die Gleichungen (7) sind stets nach den A auflösbar, da die Determinante der Koeffizienten | X(a) nicht verschwinden kann. Die Bedingungen der Darstellbarkeit der Funktion R (5) reduzieren sich daher auf die p Gleichungen (6) zwischen den b, und B. Dies gibt den Satz: IV. Die allgemeinste in Aufgabe A § 9 verlangte Funktion R(x, y) von der Ordnung m wird dargestellt durch den Ausdruck (5); sie hängt im wesentlichen ab von 2m+1 Elementen, nämlich den m1 Punkten b den m zugehörigen Konstanten B, und der additiven Konstanten Co. Die 2 m ersten Elemente sind durch die p linear unabhängigen Gleichungen (6) verknüpft. Die m Größen B, sind nicht selbst die Residuen der Funktion R für die Punkte b; diese Residuen sind nach (2) § 9 vielmehr gleich B(F'y), unterscheiden sich von B, also nur um den von b, abhängigen Faktor (Fy). Wir können daher leicht die Residuen selber einführen, behalten aber der Einfachheit halber die Größen B, bei. Es handelt sich nun darum, die p Gleichungen (6) näher zu untersuchen. Es wird von der Lage der m Punkte b, abhängen, ob diese p Gleichungen linear unabhängig sind oder nicht, d. h. ob es p konstante Faktoren gibt, mit denen sie multipliziert die Summe O geben, oder ob das nicht zutrifft. Hiernach sind zwei Fälle zu unterscheiden. Im ersten Falle haben die m Punkte b, eine allgemeine Lage (sie bilden eine allgemeine Punktgruppe), und R ist eine allgemeine Funktion, im zweiten Falle haben die m Punkte b, eine spezielle Lage (sie bilden eine sog. Spezialgruppe), und R ist eine sog. Spezialfunktion. Die Diskussion der Gleichungen (6) (vgl. A. F. S. 98-101) führt zu den Sätzen: 1. Fall. R(x, y) ist eine allgemeine Funktion. V. Sind die m ∞1 Punkte b, einer rationalen Funktion R der mten Ordnung von allgemeiner Lage, d. h. derart unabhängig, daß sie nicht sämtlich Nullpunkte ein- und derselben adjungierten D-Funktion vom (n-3) ten Grade sind, so muß m>p sein. Von den m Koeffizienten B sind alsdann noch mp willkürlich, die p letzten aber durch sie und die Punkte b, durch die Gleichungen (6) eindeutig bestimmt. (Riemannscher Satz.) Va. Von den rationalen Funktionen der men Ordnung mit denselben m willkürlichen ∞1 Punkten b, sind nur m-p+1 linear unabhängig, oder zwischen je m-p+2 solchen Funktionen besteht mindestens eine lineare homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten. Vb. Die Zahl p + 1 gibt die niederste Ordnung an, die eine rationale Funktion R(x, y) haben kann, wenn ihre ∞1Punkte b, sämtlich willkürlich wählbar sind.1) 2. Fall. R(x, y) ist eine Spezialfunktion. VI. Sind die m1Punkte b, einer rationalen Funktion R der mten Ordnung nicht unabhängig, sondern von solch spezieller Lage, daß für jeden derselben die nämlichen q(1) linear unabhängigen Þ-Funktionen verschwinden, so muß m>p-q sein. Von den m Koeffizienten B sind alsdann noch m− p + q willkürlich, die pq letzten aber durch sie und die Punkte b, eindeutig bestimmt. (Riemann-Rochscher Satz.) VI a. Von solchen Funktionen der mten Ordnung mit denselben m1Punkten b, sind nur m−p+q+1 linear unabhängig oder zwischen je m-p+q+2 solchen Funktionen besteht mindestens eine homogene lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten. VIb. Spezialfunktionen treten immer auf, wenn mZp. Die Grenzen von m im Fall einer Spezialfunktion sind m2p-2 und m (A. F. S. 101.) Die Sätze V und VI sind analog gebildet. Der Satz V wurde von Riemann), der Satz VI für einzelne Fälle (m = p, p-1, p-2) ebenfalls von Riemann, allgemein aber auf dem von Riemann eingeschlagenen Wege von Roch3) abgeleitet. Riemann stellt die rationale Funktion R(x, y) in transzendenter Form durch eine Summe von Integralen zweiter Gattung dar und sucht die Bedingungen auf, unter denen eine solche Summe in der Fläche T eindeutig ist. Er kommt dabei unter Voraussetzung des Satzes (der auch auf transzendentem Wege gewonnen wird), daß es stets p linear unabhängige D-Funktionen (oder Differentiale erster Gattung) gibt, grade zu den obigen Gleichungen (6) als den einzigen Bedingungen, die zwischen den m1Punkten b, und den zugehörigen Konstanten B, der rationalen Funktion R bestehen müssen (vgl. St. A. F. § 17 Gl. 6 und 7). Die von Roch gegebene Diskussion ist oben reproduziert. Durch den Satz von Fields wird die ganze Behandlung rein algebraisch. Den Satz VI erhält man übrigens auch mittels der Methode, durch die Riemann das Verschwinden der Thetafunktion untersucht hat1) (vgl. A. F. § 27 und eine spätere Note). 1) Man kann diesen Satz auch unmittelbar zur Definition des Geschlechtes p verwenden, wie es von Weierstraß geschieht. (Ges. W. Bd. IV. S. 69.) 2) Riemann, Ges. W. S. 101, 109, 111. 3) Roch, Journal für Math. Bd. 64, S. 372 ff. |