I. m = 2μ. Für diesen Fall ist die Frage mit Nein zu beantworten. In der Tat ist z. B. √z>0 in P(√z) nicht als Summe von Quadraten darstellbar. 1 II. m = 2μ+1. Alle Zahlen des Körpers P(+) lassen sich auf die Form bringen: 2 μ kann man 3 Fälle unterscheiden: Hier ist amb eine rationale Zahl und zwar >0, da k> 0 ist. Im Nenner stehen ebenfalls lauter positive Summanden. Zur Abkürzung werde am - bm x, der Nenner = w gesetzt. Dann ist: (3) = Nun läßt sich xw auf Grund der Betrachtung in Fall 1 in Quadrate zerlegen, also k ebenfalls. 3. Einige a, sind > 0, andre <0. (Es können auch einige=0 sein). Das ist der allgemeine Fall. Dann aber läßt sich die positive Zahl k in einzelne Summanden von der Form a V a zerlegen, die selbst positiv sind, und in denen a,>0 und a≥0. m z. B. ist: auch in diesem Falle in Quadrate zerlegbar. Mithin gilt der Satz: 2 ,,Bedeutet P den absoluten Rationalitätsbereich, z eine positive rationale Zahl, z die reelle Wurzel, und ist m ungrade, so ist jede positive Zahl des Körpers in höchstens 4m Quadrate aus Zahlen desselben Körpers zerlegbar." 2. Es sei wieder z positiv-rational und keine Quadratzahl. Zu P werde √— 2 = i√z adjungiert. Der Allgemeinheit unbeschadet darf #> 1 vorausgesetzt werden. In P(V— 2) = P(i√z) ist jede negative reelle Zahl ะ also nach Fermat in 4 Quadrate zerlegbar. Somit hat man den Satz: „In P(iv), wo z positiv-rational ist, ist jede reelle Zahl als Summe von 4 Quadraten darstellbar." Wie steht es nun mit den komplexen Zahlen des Körpers P(i√z)? Angenommen, es wäre: n Die rechte Seite dieser Gleichung ist eine rationale Zahl, die durch passende Wahl des willkürlichen 1 positiv gemacht werden kann: dann lassen sich nach Fermat und Euler 4 rationale Zahlen aα, α3, α, α5 finden, die die Gleichung (9) befriedigen. Es ist daher Gleichung (6) wirklich erfüllt, und zwar ist darin n = = 5 zu setzen: „Alle komplexen Zahlen des Körpers P(i) lassen sich als Summen von höchstens 5 Quadraten auf i. a. unendlich mannigfache Art darstellen, wobei 4 Quadratzahlen rational und reell sind:" 5 k = a + bi√z = (α + i√ž)2 + Σai. 2=v In P(V) ist somit überhaupt jede Zahl in 5 oder weniger Quadrate zerlegbar. Potsdam, den 12. März 1903. OTTO MEISZNER. 3. Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. [Einsendungen für den Sprechsaal erbittet Franz Meyer, Königsberg i. Pr., Mitteltragheim 51.] S. 514. In Formel (8) lies Zu II A 7 c. auv statt +auv. S. 515. In Formel (9) muß das Doppelintegral mit einem positiven, das einfache Integral mit einem negativen Vorzeichen versehen werden, wie man etwa durch Vergleich mit den Formeln der Potentialtheorie sofort einsieht. Andererseits kann man diese Formel ungeändert lassen und die Funktion im Punkte (s, n) positiv unendlich werden lassen, wodurch man bessere Übereinstimmung mit den entsprechenden Formeln bei mehr als zwei Dimensionen erzielt. S. 515. Zeile 3 v. u. Es müßte der Satz: „,das Integral ds ist über den ganzen Rand des Gebietes, entgegen dem Sinne des Uhrzeigers zu erstrecken“, wohl gestrichen werden; denn bei einem derartigen Integral ist ds als wesentlich positiv anzusehen, und von einem Sinne kann überhaupt nicht die Rede sein. Man denke an den entsprechenden Fall bei drei Dimensionen. S. 524. Fußnote 37. Die hier zuletzt angegebene Seitenzahl muß heißen 1088, statt 1085. S. 542. Fußnote 68. Wegen eines einfacheren und strengeren und zugleich viel allgemeineren Beweises des betreffenden Satzes hätte vielleicht auf M. Bôcher, Bulletin of the American Mathematical Society, May 1899, Seite 387, Fußnote, verwiesen werden können. S. 570. Nachtrag. Die Behauptung, daß durch den Hedrickschen Beweis, daß jede lineare Differentialgleichung vom elliptischen Typus mit analytischen Koeffizienten eine Lösung der Form U log r+ V besitzt, die Existenz der Greenschen Funktion nachzuweisen ist, sobald man die Lösbarkeit der gewöhnlichen Randwertaufgabe voraussetzt, ist unrichtig. Es bleibt nämlich noch nachzuweisen, daß die Funktionen U, V, wie auf Seite 515 verlangt wird, in dem zu betrachtenden Gebiete durchweg stetige Funktionen sind, während bei Hedrick diese Stetigkeit nur für eine hinreichend kleine Umgebung des Punktes (,n) bewiesen wird. Selbst für ein hinreichend kleines Gebiet reicht der Hedricksche Satz nicht hin, um die Existenz der Greenschen Funktion zu beweisen; denn wenn man auch das Gebiet für eine bestimmte Lage des Punktes (§, n) klein genug annehmen kann, so ist deshalb nicht gesagt, daß man das Gebiet so klein nehmen kann, daß es für alle Lagen von (§, n), die in demselben liegen, klein genug genommen werden kann. Auch bei der Anwendung der Lösungen U log r+ V zum Nachweis des analytischen Charakters aller Lösungen der Differentialgleichung, wie sie von Sommerfeld skizziert ist, macht sich bei genauerer Betrachtung dieselbe Schwierigkeit bemerkbar. Der Hedricksche Beweis bedarf also einer Ergänzung, bevor er für die Sommerfeldschen Zwecke ausreichen wird. Zu II A 7 b. S. 485. Fußnote 113. Statt Bôcher, p. 17 lies p. 134. Hier durfte ein Hinweis auf die Note von Darboux Par. C. R. 83 (1876), S. 1037 nicht fehlen, wo zum ersten Mal pentasphärische Koordinaten in der Potentialtheorie gebraucht sind. MAXIME BOCHER. 4. Bei der Redaktion eingegangene Bücher. ALEXANDROFF-SCHUSTER, Aufgaben aus der niederen Geometrie. Nach Lösungsmethoden geordnet und zu einem Übungsbuche zusammengestellt. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 123 S. Astronomischer Kalender für 1904. Herausgegeben von der Sternwarte zu Wien. CHIPART, H. La théorie gyrostatique de la lumière. Paris 1904, Gauthier-Villars. 192 S. Fr. 6.50. GAUSS, C. F., Werke. Neunter Band. Her. v. d. Kgl. Ges. d. W. zu Göttingen. HAENTZSCHEL, E., Das Erdsphäroid und seine Abbildung. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 139 S. LUMMER, O., Die Ziele der Leuchttechnik. München und Berlin 1903, Oldenbourg. 112 S. HAUBER, W., Statik I: Die Grundlehren der Statik starrer Körper. Sammlung Göschen (178). 148 S. M. 0.80. MAHLER, G., Physikaliche Formelsammlung. Sammlung Göschen (136). Zweite Auflage. 190 S. M. 2.50. M. 0.80. L. 3. MARCOLONGO, R., Teoria matematica dello equilibrio dei corpi elastici. Manuali Hoepli 348-349. Milano 1904. 366 S. NIELSEN, N., Inspektor des mathematischen Unterrichts an den Gymnasien Dänemarks. Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen. Leipzig 1904, B. G. Teubner. XIV u. 408 S. geb. n. M. 14. REICHEL, O., Vorstufen der höheren Analysis und analytischen Geometrie. Mit 30 Figuren im Text. Leipzig 1904, B. G. Teubner. X u. 111 S. geb. M. 2.40. ROSENBERG, KARL, Lehrbuch der Physik für die oberen Klassen der Mittelschulen. Wien und Leipzig 1904, A. Hölder. M. 5.20. SALMON - FIEDLER, Analytische Geometrie der Kegelschnitte II. Sechste Auflage. Leipzig 1903, B. G. Teubner. SCHUBERT, H., Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigonometrisches Rechnen. Zweite Auflage. Sammlung Göschen. 128 S. M. 0.80 SCHUBERT, H., Mathematische Mußestunden. Eine Sammlung von Geduldspielen, Kunststücken und Unterhaltungsaufgaben mathematischer Natur. Kleine Ausgabe. Zweite Auflage. Leipzig 1904, Göschen. 306 S. M. 5. SELIWANOFF, D., Lehrbuch der Differenzenrechnung. Leipzig 1904, B. G. Teubner. IV u. 92 S. geb. ca. M. 2.50. SIMON, M., Analytische Geometrie des Raumes. Zweite Auflage. Sammlung Göschen. 205 S. M. 0.80. Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Herausgegeben vom Vorstand der Gesellschaft. Zweiter Jahrgang. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 68 S. M 2. STAMPFER-DOLEŽAL, Sechstellige logarithmisch-trigonometrische Tafeln, nebst Hilfstafeln, einem Anhange und einer Anweisung zum Gebrauche der Tafeln. Zwanzigste Auflage. Wien 1904, K. Gerold. 162 S. M. 3. TROPFKE, J., Geschichte der Elementar-Mathematik I, 332 S., II, 496 S. Leipzig 1903, Veit & Co. M 12. WIENECKE, Der geometrische Vorkursus in schulgemäßer Darstellung mit reichem Aufgabenmaterial nebst Resultaten zum Gebrauch an allen Lehranstalten. Leipzig 1904, B. G. Teubner. 97 S. ZEHNDER, L., Das Leben im Weltall. Tübingen 1903, Mohr. 125 S. M. 2.50. |