86 P. H. SCHOUTE: Über die nach Isomorphismus verschiedenen Typen etc. Die Abbildung der von n+2 Räumen R-1 begrenzten Polytope als Simplotope in ebener Projektion ist sehr geeignet zur be quemen Bestimmung der von n+3 Räumen R-1 begrenzten Polytope. So sind in den Figuren 7 und 8 die beiden vierdimensionalen Sechszellen S. (2, 4) und St(3, 3) abgebildet, und man erblickt beim (8, 16, 14, 6) die Zerlegung in zwei Teile (12, 24, 19, 7), durch den Raum a und in die zwei Teile (8, 16, 14, 6) und (12, 24, 19, 7), durch den Raum b, beim (9, 18, 15, 6) die Zerlegung in (5,10,10,5) und (12, 24, 19, 7), durch a, in (11, 22, 18, 7) und (14, 28, 21, 7) durch b, in (13, 26, 20, 7) und (12, 24, 19, 7), durch c, u. s. w., und man erhält also die fünf von M. Brückner angegebenen vierdimensionalen Siebenzellen, usw. 4. Eine kurze Bemerkung über den Inhalt des Simplotopes St(p, q) möge diese Mitteilung beschließen. k Wird die Länge des Segmentes OA, durch a,, der Winkel A,OA zwischen den Segmenten OA,, OA, durch α, bezeichnet, so wird der Inhalt I der n-dimensionalen Kiste mit den in O zusammenstoßenden Kanten OA, OA, ..., OA, durch die Formel gegeben. Und nun ist der Inhalt I, des Simplotops St(p + q) mit jenem der (p + q)-dimensionalen Kiste durch die Beziehung Ableitung der Realitätsbedingungen für die Wurzeln der biquadratischen Gleichung ohne Auflösung der Gleichung. Von E. ECKHARDT in Homburg v. d. H. Die Untersuchung der Wurzeln der biquadratischen Gleichungen knüpft, wenn nicht die in dieses Gebiet gehörenden Sätze der höheren Algebra herangezogen werden sollen, an die Auflösung der genannten Gleichungen an. Diese wird für die Gleichung x+ax2 + bx + c = 0 durch die Resolvente y + 2ay1 + (a2 — 4c)y2 - b2 = 0 bewirkt. Die Untersuchung der Wurzeln dieser Gleichung in Bezug auf ihre Realität und ihre Vorzeichen läßt dann erst einen Schluß auf die Wurzeln der biquadratischen Gleichungen zu. Es ist nun wünschenswert, eine Methode zur Verfügung zu haben, die ohne die Auflösung der biquadratischen Gleichungen und unabhängig von den Gleichungen dritten Grades direkt zum Ziele führt. Eine solche Methode soll im folgenden gegeben werden. 1. Betrachtung einiger für die Hauptuntersuchung wichtiger Ausdrücke. Die reduzierte Gleichung vierten Grades mit reellen Koeffizienten habe die Form Beachtet man, daß komplexe Wurzeln nur paarweise und in konjugierter Form auftreten, so ist, wenn man vorkommenden Falls a und ẞ, bez. 7 und als die konjugierten Wurzeln wählt, u reell, während v und w reell oder rein imaginär sein können. γ Durch diese Feststellungen gelangt man nun in einfacher Weise zur Erkenntnis der Beschaffenheit folgender Ausdrücke: (1) 2a Für den Koeffizienten a von x2 gilt: α=αβ + γ + αδ + βγ + βδ + γδ, a = (α + B + y + d)2 − (œ2 + ß2 + y2 + §3) = (œ2 + ß2 + y2 + 82) Sind u, v, w reell, also alle vier Wurzeln a, ß, y, d reell, so muß a negativ sein. Sind zwei oder vier Wurzeln imaginär, also v = iv1, oder viv1 und wiw1, iw1, so kann a0 sein. Der Fall u = 0, v = O, w0, in dem alle vier Wurzeln und also auch a, b, c zugleich verschwinden, kann ausgeschlossen werden. a2-4c; c>0. (2) Diese Darstellung läßt erkennen, daß für reelle u, v, w, also für vier reelle Wurzeln, a2 - 4c > 0 ist. Es wird gleich Null, wenn v=0 und w= 0. Bei dem Vorhandensein imaginärer Wurzeln kann a2 - 4c≥0 sein. Ist aber a2 - 4c<0, so kann dies nur durch das Glied 8u2 (v2 + w2) bewirkt werden, indem dasselbe durch v = iv1, oder v=iv1 und w=iw1 negativ wird. Im Falle a2 - 4c <0 müssen also zwei oder vier imaginäre Wurzeln vorhanden sein. (3) a2 + 12c C = a2 + 12c. (2 u2 + v2 + w2)2 + 12 (u3 — v2) (u2 — w2) Für vier reelle Wurzeln ist demnach a2 + 12 c≥0. Es wird gleich = +2u. Bei vier imaginären Wurzeln muß immer a2 + 12c> 0 sein. Dies leuchtet ein, wenn man bedenkt, daß bei vier imaginären Wurzeln stets c>0. Ist nur ein Wurzelpaar imaginär, so kann a2+12c0 sein. Wenn aber umgekehrt a2 + 12c <0 ist, so kann dies nur durch ein komplexes Wurzelpaar bewirkt werden, denn a2 + 12c wird nur dann negativ, wenn 12v2 w2 <0 ist; das letztere ist aber nur möglich, wenn entweder v = iv1 oder w = iw1. 1) Für w=0 erhält man die von H. Weber in seinem Lehrbuch der Algebra, 2. Aufl., Bd. 1, S. 277 angeführte Formel für a2-4c. Den Ausgangs 2. Die Gleichungen mit vier reellen Wurzeln. punkt der Untersuchung bilden die reduzierten Gleichungen vierten Grades mit zwei gleichen reellen Wurzeln r. Da der Koeffizient von x3 Null ist, so müssen die Wurzeln die Form haben x4 x1 − (2r2 + e3) · x2 + 2re2 · x + r2 (p2 — e2) = 0. Dieser Gleichung stelle man die zu untersuchende Gleichung mit reellen Koeffizienten gegenüber und bestimmer und e so, daß 2r2 + e2 = — a, r2 (r2 — e2) = — c ei,2 = (-2a — Va2 + 12c); e. 4 4 = 1 (− 2a + √ a2 + 12c). Von ihnen braucht man bloß die Verbindungen r1, e; r, eg u. s. f. zu betrachten, da z. B. die Verbindung r1, es sich von der Verbindung 1, e nur durch eine andere Anordnung der dritten und vierten Wurzel unterscheidet, wie man aus e1 = -e, sofort erkennt. Für den weiteren Gang der Untersuchung kommt es nun darauf an, ob c≥0. a) c>0. Da die reellen Koeffizienten von x2 + ax2 + bx + c = 0 mit den Koeffizienten von 4 - (2r2 + e2) x2 + 2re2x + r2 (r2 — e2) x e2)x2 0 verglichen werden, so kann zwar e20 sein, von den Werten für „2 in Nr. 2 ist dagegen nur der positive Wert zu wählen. Im Falle c> 0 kommen daher nur die Wertepaare r1, e, und ra, e in Betracht; denn nur bei ihnen sind r, und r, reell. Da nach Nr. 1 beim Vorhandensein von vier reellen Wurzeln a <0 und a2 - 4c > 0, so sind auch e, und e Die Wertepaare rз, е und r1, е imaginär sind. reell. sind auszuscheiden, da r und ΥΑ Im Falle c>0 und a2-4c>0 gibt es also für dieselben Werte von a und c immer nur zwei von einander verschiedene Gleichungen vierten Grades mit je einem gleichen und reellen Wurzelpaare. Sie Hierin ist 2r>2r,e, da e = e, r1>0 und r, <0. Die Gl. (1) wird ihrer Bildung gemäß befriedigt durch r1, r1, r1 + e1, rq+Cgi die Gl. (2) durch 7, 2, + Cq, ―rg — Cq. 1⁄2, - r 2 r2 Solange 2r,e2 <b<2re̟ ist und außerdem a <0 und a2 — 4c>0, hat die Gl. x + a x2 + bx + c = 0 vier reelle Wurzeln. Beweis: Infolge der Ungleichungen 2r,e2 <b<2r,e kann man, wenn und u positive reelle Größen sind, Dadurch nimmt die linke Seite der Gl. x+ax2 + bx + c = 0 die zwei identischen Formen an: f(x) = [x1 + ax2 + 2r1e}x + c] − 2.x, f(x)= [x1 + ax2 + 2r,ex + c] + μ.x. Die eckigen Klammern stellen die linken Seiten der Gl. (1) u. (2) dar, mit den Wurzeln r1, 71, - r1 + e1, — r1 — e1 und r2, r, -r g + lą, -req. Da r, negativ, r1 positiv ist, so gilt: biquadratischen Gleichung vier Zeichenwechsel, und folglich hat die Gleichung selbst vier reelle Wurzeln. Da die Bedingung a2 - 4c>0 jetzt immer b) c<0, a < 0. erfüllt ist, so sind, wenn noch a2 + 12c > 0, |