Man findet z. B. in der Kolumne d69, auf den Zeilen c19 und c20: N L Ferner in der Kolumne d229 auf den Zeilen c2 und c3: N 0,099955796 + 2,3025271 580 L 2,30302728 = 2,3025851 d. i. log nat 10. Auf diese Art fände man 14 richtige Stellen der natürlichen Logarithmen. Die obigen Zahlen sind nach Edward Sang (in William Rae Macdonalds englischer Übersetzung der Constructio) verbessert, bei Neper ist infolge des oben angedeuteten Rechenfehlers jeder Logarithmus um 3 10-6 seines Wertes (nach Zeuthens Formulierung) zu klein. Dagegen sind in der Nachberechnung des Ursinus (Kölln an der Spree, 1624) die Logarithmen richtig. 8 Die gewöhnliche Ansicht, Neper habe dem Logarithmus „10-7n“ zugeordnet den Numerus (1 10-7)”, ist hiernach falsch. Sie würde besagen, daß er ein künstliches System mit der Basis (1-10-7) 10 aufgerichtet hätte. Vielmehr hat er der Zahl (1 10-7)" zugeordnet den Logarithmus 10-7.n(1+10-7). Dieser Logarithmus wird =1 für n=107(1-10-7), also für einen Numerus &, für welchen ist log nat en log nat (1-10-7)=-107(1-10-7). (10-7+110-14). 1 e = - 1. Also ist &= die Basis der Neperschen Logarithmen. Doch ist dieser Formelbeweis überflüssig, da das Vorige zeigt, daß Neper durch seine Rechnung der Definition 1 107 Im Vorwort zu Wrights englischer Übersetzung der Descriptio bemerkt Neper, er habe vor, alle Logarithmen durch die obige Zahl 2,3025851, d. h. log Nep. zu dividieren. Dadurch käme zu der Logarithmus 1. Man kann das so deuten, daß er statt der Stunde eine neue Zeiteinheit, 2,3025851 Stunden, einzuführen willens war. Er sah also, daß der Übergang zu dem mit Briggs besprochenen neuen System nur eine Änderung des Maßstabes war. = 1) Bei Neper 0,6931469. Über die Stabilität der Biegung. Von H. Reißner. Wenn ein Träger, der durch Kräfte in einer bestimmten durch seine Längsachse gehenden Ebene auf Biegung beansprucht wird, wirtschaftlich zweckmäßig konstruiert werden soll, wird man im allgemeinen seinen Querschnitt in dieser Ebene recht hoch und in der dazu senkrechten recht schmal oder, genauer ausgedrückt, das eine Hauptträgheitsmoment recht groß, das andere recht klein machen. Aus der Erfahrung weiß man aber, daß man in dieser Art der Querschnittsbemessung nicht zu weit gehen darf, wenn man nicht gewärtig sein will, daß der auf Biegung in einer Ebene beanspruchte Stab aus dieser Ebene herausgehen und nach der Seite wegkippen soll. Wo diese wichtige Grenze liegt, dafür gab es bis zum Jahre 1899 nur Faustregeln. Erst im genannten Jahre ist es den Herren Michell1) und Prandtl) fast gleichzeitig und unabhängig von einander gelungen unter gewissen Annahmen die Bedingung der beschriebenen Art der Instabilität aufzustellen. Die von den Genannten aufgestellte Stabilitätsbedingung setzt voraus, daß die Biegungssteifigkeit unendlich groß gegen die Torsionssteifigkeit ist und ist insofern unvollständig. Ferner werden für die Ableitung umständliche und unscharfe geometrische Betrachtungen benutzt, deren Annäherungsvoraussetzungen undurchsichtig sind. Des Verfassers hier mitgeteiltes Ergebnis ist einesteils für jedes Größenverhältnis der Torsionssteifigkeit zur Biegungssteifigkeit gültig, sodaß es die Michell-Prandtlsche Stabilitätsbedingung als Sonderfall enthält und benutzt andererseits zur Ableitung keine geometrischen Betrachtungen, sondern die Kirchhoffschen Gleichungen der räumlichen Stabbiegung, in denen die geometrischen Betrachtungen schon bei der Aufstellung der Gleichungen einwandfrei erledigt sind. 1) A. G. M. Michell, Elastic stability of long beams under transverse forces. Phil. Mag. Sept. 1899. 2) Prandtl, Über einige Fälle der Kippelastizität, München, Dissertation Nov. 1899. und am anderen Ende durch eine Einzelkraft in der Richtung einer Hauptträgheitsachse des Querschnitts belastet. Es wird die Frage aufgeworfen, ob die Längsachse des Balkens in der durch Kraftrichtung und Anfangslage der Längsachse bestimmten Ebene bleibt. Zunächst führen wir folgende Bezeichnungen ein: Es bedeute (siehe Abb.) J das größere Hauptträgheitsmoment des Querschnitts. kleinere A="EJ, die größere Biegungssteifigkeit des Querschnitts. J, 1 C die Torsionssteifigkeit des Querschnitts d. h. den durch das Kräftepaar 1 hervorgerufenen Verdrehungswinkel der Länge 1. x und die Krümmungen der Stabachse in den zu den Hauptträgheitsachsen gehörigen Ebenen. den auf die Länge 1 bezogenen Verdrehungswinkel. G das am freien Ende am Querschnittsmittelpunkt wirkende Gewicht. N1 die von einem Querschnitt auf den benachbarten ausgeübte Kraft in Richtung der ursprünglich wagerechten Hauptträgheitsachse. N die entsprechende Kraft in der Richtung der ursprünglich senkrechten Hauptträgheitsachse. T die entsprechende Kraft in der Längsachse des Stabes. Der positive Richtungssinn von N falle mit dem der äußeren Kraft in der ursprünglichen Lage zusammen, über die positive Richtung von N und T brauchen wir hier nichts auszusagen. Mit diesen Bezeichnungen lauten die 6 Kirchhoffschen Gleichgewichtsbedingungen1) für ein Stabelement: = 0, ་ = Wir fragen nun, wann der Stab anfängt aus seiner Ebene herauszutreten, d. h. wann eine Variation von dem Zustand 1 0, N1 = 0 aus zu einem Zustand, wo λ, t, N1 nicht verschwinden, eine mögliche Gleichgewichtsform ergibt. Daß dieser Zustand dann beginnt der stabilere zu sein, folgt daraus, daß seine Formänderungsarbeit größer und damit seine potentielle Energie kleiner ist, als die mit der ebenen Biegung verbundene. Bezeichnen wir jetzt der Kürze wegen die vom Zustand der ebenen 1) Siehe z. B. A. E. H. Love, Elasticity Vol. II p. 59 ff. Biegung aus vorgenommenen Variationen der vorkommenden Größen mit demselben Buchstaben wie die Größen selbst und ihre Werte für ebene Biegung mit dem Index 0, so ergibt die Variation der ersten und der beiden letzten der Gleichungen (1) = Wir wollen nun voraussetzen, daß bei der ebenen Biegung die Winkeländerungen der Stabachse so klein sind, daß wir N G setzen dürfen. Dann erhalten wir aus den Gleichungen (1) die Beziehungen Die Variationen der auf die senkrechte Biegungsebene bezüglichen Größen x, N2, T sagen uns nichts Wichtiges. Durch Einsetzung der Gleichungen (2) und (4) in Gleichung (3) er = nach Gleichung (2) O sein muß, weil am freien Ende kein Dreh a3s (4ẞ+1) a3s12 (4ẞ+1) (8ẞ + 1) 4.3.1 8.7.5.4.3.1 12 11 9 8.7.5.4.3.1 N1 = a [1 — + ας + -] ass12 (3ẞ+1)(7ẞ+1)(11ẞ+1) wo a und b Integrationskonstanten sind, die aus den folgenden Bedingungen bestimmt werden müssen: da am eingespannten Ende die wagerechte Hauptträgheitsachse ihre Lage nicht geändert hat, also die senkrechte äußere Kraft G weder eine Komponente nach dieser Achse besitzt, noch ein Biegungsmoment um diese Achse hervorrufen kann. Stellen wir diese Bedingungsgleichungen durch Differentiation her, so erhalten wir 2 homogene, lineare Gleichungen für a und b. Im allgemeinen sind also a und 60 d. h. N1 = λ = t = 0 bis zu dem Augenblick, wo die Nennerdeterminante ihrer Bestimmungsgleichungen verschwindet. Für diesen Fall wird b durch a ausdrückbar, und a kann jeden beliebigen Wert annehmen. Von diesem Augenblick an wird die räumliche Biegungslinie möglich, die Winkeländerungen können nicht mehr als unendlich klein betrachtet werden, und die wirklich eintretende Biegungslinie müßte aus den Kirchhoffschen Gleichungen ohne die Voraussetzung unendlich kleiner Variationen bestimmt werden. Die wirkliche Gestalt der Biegungslinie geht uns für die vorliegende Frage aber wenig an, vielmehr sollte nur die Bedingung der Stabilität gefunden werden. Rechnen wir die Determinante, deren Glieder unendliche Reihen sind, aus, so ergibt sich als Bedingung der Stabilität die einfache transzendente Gleichung: = A-C Diese Gleichung geht in die von Michell und Prandtl gefundene über, wenn wir darin ß 1 d. h. A ∞ groß gegen C setzen. Diese Näherungsvoraussetzung kann zwar bei sehr dünnen Querschnitten gemacht werden, und ihr Ergebnis stimmt dort sehr gut mit den von den genannten Forschern angestellten Versuchen überein, unzulässig ist sie in andern nicht minder wichtigen Fällen, bei denen die Breitendimensionen des Querschnitts nicht sehr klein gegen seine Höhe sind z. B. in dem Fall, daß es sich um die seitliche Absteifung der Blechträger des Brückenbaus handelt. Die Benutzung der Gleichung (6) muß etwa so erfolgen, daß für verG2 (A — B) schiedene Werte ẞ = die Unbekannte α = berechnet wird, ABC was ja bei dem geringen Grad von Genauigkeit, der dabei nötig ist, etwa bis zur zweiten Dezimale, gar keine Schwierigkeiten hat. Diese Ausrechnung soll an anderer Stelle gegeben werden. A-C |