denote by L, L', M, M', N, N' ; see my Arts. 1137 and 1139; these special cases can be deduced immediately from the general forms. 1160. He considers that the success of the investigation depends mainly on the solution of the simultaneous equations discussed in my Art. 1138. He describes this as the simultaneous development of the two expressions Y' and Z' by the aid of the functions P: see his pp. 333 and 337. He says on the latter page: Il y a tout lieu de penser, qu'on ne réussira, dans la même voie, avec un autre système orthogonal, qu'en lui découvrant, d'abord, la faculté analogue, de développer simultanément deux ou trois fonctions, de une ou de deux de ses coordonnées. Car la simultanéité dans les développements des fonctions données, paraît être nécessitée, et par la simultanéité des équations aux différences partielles à intégrer, et par la présence simultanée des fonctions intégrées dans les équations à la surface. 1161. On his pp. 354-357 Lamé adverts to two cases in which the solution becomes simplified. One is the case in which we have a full sphere instead of a spherical envelope; in this case, in order to avoid the occurrence of infinite quantities, all the terms must disappear which involve negative powers of the radius r, so that the constants which are the coefficients of such terms must be zero. The other case is that in which we suppose no external boundary, that is we take a medium of indefinite extent in which a spherical cavity exists; in this case, in order to avoid the occurrence of infinite quantities, all the terms must disappear which involve positive powers of the radius vector r. 1162. The nineteenth Lecture finishes thus: Pour compléter l'examen de la solution générale, il faudrait étudier successivement les termes les plus influents, ou ceux qui correspondent aux moindres valeurs des entiers (1, n), et faire ressortir les propriétés caractéristiques, et distinctes, de ces différents termes, desquels chacun pourrait exister seul, si les fonctions introduites ou les efforts extérieurs se prêtaient à cet isolement. On devrait, aussi, considérer particulièrement le cas des enveloppes sphériques minces, ou dont l'épaisseur (r,r) est une très-petite fraction du rayon r,, ce qui permettrait de simplifier considérablement les séries finales. Enfin on pourrait citer un grand nombre d'applications spéciales et importantes. Mais nous passerons tout cela sous silence. Une digression trop étendue, sur une question particulière de la théorie mathématique de l'élasticité, pourrait donner quelque apparence de raison, à ceux qui ne veulent voir, dans la grande généralité de cette théorie, qu'une complication inextricable, et qui préfèrent et prônent des procédés hybrides, mi-analytiques et mi-empiriques, ne servant qu'à masquer les abords de la véritable science'. 1163. The last Lecture is entitled: Principes de la théorie de l'élasticité; it occupies only ten pages, and the topics brought forward are not very fully discussed. The main idea seems to be this; we really know nothing about molecules or molecular action, and therefore we cannot fully rely on any theory which is based on hypotheses respecting molecular action. Accordingly we ought not to attach much importance to the process by which the thirtysix coefficients are reduced to fifteen: see Art. 594. Lamé seems to employ the phrase l'ancien principe to designate the NavierPoisson hypothesis as to the nature of molecular action, and he presents his general conclusions thus on his p. 363: On le voit, chaque partie du principe dont il s'agit, chaque mot de son énoncé donne lieu à un doute, déguise une hypothèse ou présuppose une loi. La théorie mathématique de l'élasticité ne peut donc faire usage de ce principe, sans cesser d'être rigoureuse et certaine. Pour être sûre de rester d'accord avec les faits, elle doit se restreindre: 1° aux équations générales déduites, avec Navier, des théorèmes fondamentaux de la mécanique rationnelle; 2o aux relations qui existent entre les forces élastiques autour d'un point, si bien définies par la loi de réciprocité, ou par l'ellipsoïde d'élasticité et qui résultent de l'équilibre du tétraèdre élémentaire, imaginé par Cauchy; 3° aux x, y exprimés linéairement par les dérivées premières des déplacements, avec leurs coefficients indépendants, sous la forme essentielle établie par Poisson. 1 [These last words read like a covert sneer at Saint-Venant's méthode mixte ou semi-inverse. No elastician now-a-days would hesitate to acknowledge the value of Saint-Venant's method, and the majority would probably endorse what he himself has written about Lamé's pursuit of that Will-o'-the-wisp--the solution for a perfectly general 'mathematical' distribution of load: see the Historique Abrégé, pp. clxxii-clxxiii. ED.] Ainsi les belles recherches ultérieures de ces géomètres, partant de lois préconçues, sortent du champ des applications actuelles. Mais, elles ont admirablement préparé, et rendront faciles les applications futures, lorsque de nouveaux faits, et leur étude approfondie, auront conduit aux lois réelles des actions moléculaires. The three points which Lamé here holds to be firmly established are apparently: (i) the body-stress equations; (ii) the theorems relative to the stresses discovered by Cauchy and deducible from an elementary tetrahedron, or as an equivalent the properties of Lamé's stress-ellipsoid: see Art. 1059; (iii) the expressions for the stresses involving thirty-six constants, as we have them in Art. 553 of my account of Poisson's memoir of October, 1829. 1164. Lamé then refers specially to the case of homogeneous isotropic bodies; he considers that the two lemmas which he gave in his Leçons sur l'Elasticité were not properly established, as they were based on the old ideas. These occur on pp. 39-42 of the work: see my Arts. 1054 and 1055. Accordingly he now substitutes new demonstrations for those formerly given of these lemmas, which he calls respectively the lemma of simple traction and the lemma of simple torsion; the new demonstrations do not appeal to the consideration of the action of a single molecule on another, but to some results which must obviously hold by symmetry with respect to the action of an aggregate of molecules. When the new demonstrations of these lemmas are substituted for the old, Lamé says that the establishment of the formulae which relate to homogeneous isotropic bodies "est complètement dégagé de toute hypothèse, de toute idée préconçue": see his p. 3671. 1 [Lamé's statement here, together with that on p. 359, with regard to the easy establishment of the linearity of the stress-strain relation seem to me unsatisfactory. His lemmas do not definitely appeal to any physical axiom, and we have, precisely as in the case of Green, the apparent miracle of the theory of an important physical phenomenon springing created from the brain of the mathematician without any appeal to experience. The physical axiom or hypothesis of molecular force which Lamé uses in his Leçons sur l'Élasticité and which would undoubtedly have led him to rari-constancy if carried out (see our Art. 1051) is here dropped, and the only bridge over the void between the pure theory of quantity and the physical phenomenon is formed by these two lemmas, based upon considerations of symmetry, and a tacit assumption that the most sensible terms in stress are linear in strain. I have 40 T. E. 1165. The work finishes thus: Si quelque personne trouvait étrange et singulier, que l'on ait pu fonder un Cours de Mathématiques, sur la seule idée des systèmes de coordonnées, nous lui ferions remarquer que ce sont précisément ces systèmes qui caractérisent les phases ou les étapes de la science. Sans l'invention des coordonnées rectilignes, l'algèbre en serait peut-être encore au point où Diophante et ses commentateurs l'ont laissée, et nous n'aurions, ni le Calcul infinitésimal, ni la Mécanique analytique. Sans l'introduction des coordonnées sphériques, la Mécanique céleste était absolument impossible. Sans les coordonnées elliptiques, d'illustres géomètres n'auraient pu résoudre plusieurs questions importantes de cette théorie, qui restaient en suspens; et le règne de ce troisième genre de coordonnées spéciales ne fait que commencer. Mais quand il aura transformé et complété toutes les solutions de la Mécanique céleste, il faudra s'occuper sérieusement de la Physique mathématique, ou de la Mécanique terrestre. Alors viendra nécessairement le règne des coordonnées curvilignes quelconques, qui pourront seules aborder les nouvelles questions dans toute leur généralité. Oui, cette époque définitive arrivera, mais bien tard: ceux qui les premiers, ont signalé ces nouveaux instruments, n'existeront plus et seront complètement oubliés; à moins que quelque géomètre archéologue ne ressuscite leurs noms. Eh! qu'importe, d'ailleurs, si la science a marché ! Lamé died on the 1st of May, 1870: see Comptes Rendus, Vol. 62, p. 961. dwelt on this point, because we find even in mathematicians of the standing of Lamé not infrequently an omission to state clearly the physical principle upon which they base their calculations of a physical phenomenon. The history of mathematical elasticity gives many examples of this divorce between theory and physical fact; the mathematician has too often identified elasticity with the solution of certain differential equations, the constants of which are to be determined by a purely fanciful and often practically idle, if not impossible distribution of load. ED.] CHAPTER VIII. INVESTIGATIONS OF THE DECADE 1840-1850'. INCLUDING THOSE OF BLANCHET, STOKES, WERTHEIM, [1166.] P. H. Blanchet: Mémoire sur la propagation et la polarisation du mouvement dans un milieu élastique indéfini cristallisé d'une manière quelconque. Journal de mathématiques (Liouville). Tome v. pp. 1-30. Paris, 1840. This memoir was presented to the Academy of Sciences on August 8, 1838, and a report on it by Poisson, Coriolis and Sturm appears in the Comptes rendus, Tome VII. p. 1143. The report speaks very favourably of the memoir; we quote the following remarks: L'un de nous (Poisson, see our Art. 523) après avoir donné les équations différentielles de ce problème, les a intégrées complètement dans le cas d'un corps homogène non cristallisé, c'est-à-dire d'un corps dont la constitution et l'élasticité sont les mêmes en tous sens autour de chaque point. Il a conclu de ses formules que si l'ébranlement initial est circonscrit dans une petite portion du milieu, il donne naissance à deux ondes sphériques qui se propagent uniformément avec des vitesses différentes, et dont chacune a une constitution particulière. Dans le même Mémoire, on trouve aussi l'indication succincte de la méthode qu'il faudrait suivre pour traiter de la même manière le problème général qui a pour objet les lois du mouvement dans un milieu homogène élastique indéfini, cristallisé d'une manière quelconque, et qui a partout la même température. C'est ce problème général que 1 The memoirs of Kirchhoff and W. Thomson due to this period will be found in the chapters of our second volume especially devoted to those writers. Some few memoirs of an earlier or later date are inserted for diverse reasons in this chapter. |